Question

17．已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD是∠BAC的角平分線，E是BC的中點，過E作EF⊥AD交AD的延長線于F，交AB的延長線于G，求證：BD=2BG．

Answer 1

分析 在AC上截取AN=AB，延長GF交AC于M，過B作BH∥AC交GF于H，連接DN，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF=∠CAF，由垂直的定義得到∠AFG=∠AFM，推出△AGF≌△AMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AM，∠G=∠AMF，證得△ABD≌△AND，由全等三角形的性質(zhì)得到BD=DN，∠ABD=∠AND，由∠ABC=2∠C，等量代換得到∠AND=2∠C根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DN=NC=BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠HBC=∠C，推出△BEH≌△CEM，由全等三角形的性質(zhì)得到BH=MC，∠BHM=∠CMH求得∠G=∠BHG，得到BG=BH，即可得到結(jié)論．

解答 證明：在AC上截取AN=AB，延長GF交AC于M，過B作BH∥AC交GF于H，連接DN，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAF=∠CAF，
∵EF⊥AD，
∴∠AFG=∠AFM，
在△AGF與△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠MAF}\\{AF=AF}\\{∠AFG=∠AFM}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AMF，
∴AG=AM，∠G=∠AMF，
∵AB=AN，
∴BG=MN，
在△ABD與△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AN}\\{∠BAD=∠NAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AND，
∴BD=DN，∠ABD=∠AND，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∵∠AND=∠C+∠NDC，
∴∠NDC=∠C，
∴DN=NC=BD，
∵BH∥AC，
∴∠HBC=∠C，∠BHF=∠CMF，
在△BEH與△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠C}\\{BE=CE}\\{∠BEH=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△CEM，
∴BH=MC，∠BHM=∠CMH，
∴180°-∠BHM=180°-∠CMH，
即：∠BHG=∠AMF，
∴∠G=∠BHG，
∴BG=BH，
∴BG=BH=MC=MN，
∴NC=2CM，
∵NC=DN=BD，CM=BH=BG，
∴BD=2BG．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．