Question

19．通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．

原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+DF．
（1）思路梳理
∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，則點(diǎn)F、D、G共線．
根據(jù)SAS，易證△AFG≌△AFE，從而得EF=BE+DF；
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系∠B+∠D=180°時(shí)，仍有EF=BE+DF，請(qǐng)給出證明；
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進(jìn)而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；
（3）根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據(jù)Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B²+BD²=E′D²，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案為：SAS，△AFE；

（2）∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF；
如圖2，∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案為：∠B+∠D=180°；

（3）猜想：DE²=BD²+EC²，
證明：如圖3，連接DE′，根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AD=∠DAE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何變換，關(guān)鍵是正確畫出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．