Question

如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

4 3

3

，邊AB的垂直平分線CD分別與AB、x軸、y軸交于點C、E、D．
（1）求點E的坐標；
（2）求直線CD的解析式；
（3）在直線CD上找一點Q使得三角形O，D，Q為等腰三角形，并求出所有的Q點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)DC是AB垂直平分線，得出C點為OB的中點，再根據(jù)OB的值，即可求出點E的坐標；
（2）先過點C作CH⊥x軸，在Rt△ABO中，根據(jù)∠ABO的度數(shù)和OB的值求出AB的長，再在Rt△CBH中，求出OH的值，得出點D的坐標，再設(shè)直線CD的解析式，得出k，b的值，即可求出直線CD的解析式；
（3）分三種情況討論，分別根據(jù)Q點的不同位置求出Q的坐標即可．

解答：解：（1））∵DC是AB垂直平分線，OA垂直AB，
∴C點為OB的中點，
∵∠A=90°，∠DCB=90°，
∴OA∥CD，
∴E為OB的中點，
∵OB=

4 3

3

，
∴OE=

1

2

OB=

2 3

3

，
∴E（

2 3

3

，0）；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H，
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=

4 3

3

，
∴cos30°=

AB

4 3 3

=

3

2

，
即AB=

4 3

3

×

3

2

=2，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=1，在Rt△CBH中，CH=

1

2

BC=

1

2

，BH=

3

2

，
∴OH=

4 3

2

-

3

2

=

5 3

6

，
∴C（

5 3

6

，-

1

2

），
∵∠DGO=60°，
∴OE=

1

2

OB=

2 3

3

，
∴OD=

2 3

3

tan60°=2，
∴D（0，2），
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，則

- 1 2 = 5 3 6 k+b b=2

，
解得：

k=- 3 b=2

．
∴y=-

3

x+2；

（3）存在；
設(shè)Q（m，-

3

m+2），
有三種情況；
當(dāng)OD=QD時，∵D（0，2），
則DQ²=m²+（2+

3

m-2）²=OD²，
即4m²=2²，解得；m=1或m=-1，
∴Q₁（1，-

3

+2），Q₁（-1，

3

+2），
當(dāng)OQ=DQ時，則m²+（-

3

m+2）²=m²+（2+

3

m-2）²，
解得：m=

3

3

，
Q₃（

3

3

，1），
當(dāng)OD=OQ時，則m²+（-

3

m+2）²=2²，
解得：m=0，或m=

3

，
∴Q₄（

3

，-1）．
∴使得三角形O，D，Q為等腰三角形的Q點Z坐標為Q₁（1，-

3

+2），Q₁（-1，

3

+2），Q₃（

3

3

，1），Q₄（

3

，-1）．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是對（3）中Q點的不同位置分別進行求解，不要漏掉．