Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，AE、BF交于點(diǎn)O，連接EF、OD．
（1）求證：四邊形ABEF為菱形；
（2）若AB=4，AD=5，∠BCD=120°．求：tan∠ADO．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠BAE=∠AEB．證出AB=BE．同理AB=AF．得出AF=BE．證出四邊形ABEF是平行四邊形即可得出結(jié)論．
（2）作OH⊥AD于H，由菱形的性質(zhì)得出AB=AF=4，∠ABC=60°，AO⊥BF，∠ABF=∠AFB=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AO=$\frac{1}{2}$AB=2，求出OH、DH，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分線，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形．
（2）解：作OH⊥AD于H，如圖所示：
∵四邊形ABEF是菱形，∠BCD=120°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABC=60°，AO⊥BF，
∴∠ABF=∠AFB=30°，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴OH=$\sqrt{3}$，AH=1，DH=AD-AH=4，
∴tan∠ADO=$\frac{OH}{DH}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，難度適中．