Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與坐標軸交于A，B，C三點，拋物線上的點D與點C關于它的對稱軸對稱．

（1）直接寫出點D的坐標和直線AD的解析式；
（2）點E是拋物線上位于直線AD上方的動點，過點E分別作EF∥x軸，EG∥y軸并交直線AD于點F、G，求△EFG周長的最大值；
（3）若點P為y軸上的動點，則在拋物線上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將x=0代入得y=3，

∴C（0，3）．

∵拋物線的對稱軸為x=﹣ =1，C（0，3），

∴D（2，3）．

把y=0代入拋物線的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0）．

設直線AD的解析式為y=kx+b，將點A和點D的坐標代入得： ，解得：k=1，b=1，

∴直線AD的解析式為y=x+1．

（2）

解：如圖1所示：

∵直線AD的解析式為y=x+1，

∴∠DAB=45°．

∵EF∥x軸，EG∥y軸，

∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°

∴△EFG是等腰直角三角形．

∴△EFG的周長=EF+FG+EG=（2+ ）EG．

依題意，設E（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1）．

∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣ ）2+ ．

∴EG的最大值為 ．

∴△EFG的周長的最大值為 + ．

（3）

解：存在．①以AD為平行四邊形的邊時，PQ∥AD，PQ=AD．

∵A，D兩點間的水平距離為3，

∴P，Q兩點間的水平距離也為3．

∴點Q的橫坐標為3或﹣3．

將x=3和x=﹣3分別代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．

∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．

②當AD為平行四邊形的對角線時，設AD的中點為M，

∵A（﹣1，0），D（2，3），M為AD的中點，

∴M（ ， ）．

設點Q的橫坐標為x，則 = ，解得x=1，

∴點Q的橫坐標為1．

將x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．

∴這時點Q的坐標為（1，4）．

綜上所述，當點Q的坐標為Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）時，以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）先求得點C的坐標，然后再求得拋物線的對稱軸，由點C與點D關于x=1對稱可求得點D的坐標，把y=0代入拋物線的解析式可求得對應的x的值，從而可得到點A的坐標，然后利用待定系數法求得直線AD的解析式即可；（2）首先證明△EFG為等腰直角三角形，則△EFG的周長=（2+ ）EG，設E（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1），然后得到EG與t的函數關系式，利用配方法可求得EG的最大值，最后依據△EFG的周長=（2+ ）EG求解即可；（3）分為AD為平行四邊形的邊和AD為平行四邊形的對角線時，兩種情況，可先利用平行四邊形的性質求得點Q的橫坐標，然后將點Q的橫坐標代入拋物線的解析式可求得點Q的縱坐標．