Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于它的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線AD的解析式；
（2）點(diǎn)E是拋物線上位于直線AD上方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E分別作EF∥x軸，EG∥y軸并交直線AD于點(diǎn)F、G，求△EFG周長(zhǎng)的最大值；
（3）若點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將x=0代入得y=3，

∴C（0，3）．

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣ =1，C（0，3），

∴D（2，3）．

把y=0代入拋物線的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0）．

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得： ，解得：k=1，b=1，

∴直線AD的解析式為y=x+1．

（2）

解：如圖1所示：

∵直線AD的解析式為y=x+1，

∴∠DAB=45°．

∵EF∥x軸，EG∥y軸，

∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°

∴△EFG是等腰直角三角形．

∴△EFG的周長(zhǎng)=EF+FG+EG=（2+ ）EG．

依題意，設(shè)E（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1）．

∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣ ）2+ ．

∴EG的最大值為 ．

∴△EFG的周長(zhǎng)的最大值為 + ．

（3）

解：存在．①以AD為平行四邊形的邊時(shí)，PQ∥AD，PQ=AD．

∵A，D兩點(diǎn)間的水平距離為3，

∴P，Q兩點(diǎn)間的水平距離也為3．

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3或﹣3．

將x=3和x=﹣3分別代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．

∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．

②當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)AD的中點(diǎn)為M，

∵A（﹣1，0），D（2，3），M為AD的中點(diǎn)，

∴M（ ， ）．

設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，則 = ，解得x=1，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1．

將x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．

∴這時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，4）．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）時(shí)，以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后再求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，由點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，把y=0代入拋物線的解析式可求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式即可；（2）首先證明△EFG為等腰直角三角形，則△EFG的周長(zhǎng)=（2+ ）EG，設(shè)E（t，﹣t2+2t+3），則G（t，t+1），然后得到EG與t的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得EG的最大值，最后依據(jù)△EFG的周長(zhǎng)=（2+ ）EG求解即可；（3）分為AD為平行四邊形的邊和AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，兩種情況，可先利用平行四邊形的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)．