Question

定義：如果一個y與x的函數圖象經過平移后能與某反比例函數的圖象重合，那么稱這個函數是y與x的“反比例平移函數”．
例如：y=

1

x-2

+1的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到y(tǒng)=

1

x

的圖象，則y=

1

x-2

+1是y與x的“反比例平移函數”．
（1）若矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當這兩邊分別增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面積為8cm²，求y與x的函數表達式，并判斷這個函數是否為“反比例平移函數”．
（2）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數”y=

ax+k

x-6

的圖象經過B、E兩點．則這個“反比例平移函數”的表達式為

 

；這個“反比例平移函數”的圖象經過適當的變換與某一個反比例函數的圖象重合，請寫出這個反比例函數的表達式

 

．
（3）在（2）的條件下，已知過線段BE中點的一條直線l交這個“反比例平移函數”圖象于P、Q兩點（P在Q的右側），若B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）根據新矩形的面積為8cm²，則長乘以寬等于面積，即可得到一個關于x，y的方程，即可變形成函數的形式，進行判斷；
（2）把B和D的坐標代入y=

ax+k

x-6

即可列方程求得a、k的值，則函數解析式即可求解；
（3）由反比例函數的中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形，設P₁（x₀，y₀），根據S_△OP1E=S_{四邊形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．即可列方程求解．

解答：解：（1）（x+2）（y+3）=8，
∴y=

8

x+2

-3，向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到y(tǒng)=

8

x

．
∴y=

8

x+2

-3是“反比例平移函數”．
（2）把B和D的坐標代入y=

ax+k

x-6

得：

9a+k 9-6 =3 9 2 a+k 9 2 -6 =0

，
解得：

a=2 k=-9

，
則“反比例平移函數”的表達式為y=

2x-9

x-6

．
故變換后的反比例函數表達式為y=

3

x

．
（3）如圖，當點P在點B左側時，設線段BE的中點為F，由反比
例函數中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．
∵四邊形PEQB的面積為16，∴S_△PFE=4，
∵B（9，3），F(xiàn)（6，2）．
y=

2x-9

x-6

是y=

3

x

的“反比例平移函數”，
∴S_△PFE=S_△POE=4，點E的坐標是：（3，1）
過E作x軸的垂線，與BC、x軸分別交于M、N點．
S_△OP1E=S_{四邊形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．
設P₁（x₀，y₀），
∴

x0y0=3 3y0- 1 2 x0y0- 1 2 ×1×3- 1 2 (y0-1)(3-x0)=4

即

x0y0=3 3y0-x0=8

                             
∴

x0=1 y0=3

∴P₁（1，3），
∴點P的坐標為（7，5）．
當點P在點B右側時，同理可得點P的坐標為（15，

7

3

）．

點評：本題考查了反比例函數的性質，以及待定系數法求函數的解析式，注意到本題中的反比例平移函數與反比例函數的關系是關鍵．