Question

閱讀并解決問題：
在給定的銳角△ABC中，作一個正方形DEFG，使點D、E落在BC上，點F、G分別落在AC、AB上，作法如下：第一步：畫一個有三個頂點在△ABC兩邊上的正方形D′E′F′G′（如圖）；第二步：連結(jié)BF′并延長交AC于F；第三步：過F點作FE⊥BC交BC于E；第四步：過F點作FG∥BC交AB于G；第五步：過G點作GD⊥BC于D，則四邊形DEFG就是所求作的正方形．
（1）證明上述所作的四邊形是正方形；
（2）在△ABC中，如果BC=6+

3

，∠ABC=45°，∠BAC=75°，求正方形DEFG的邊長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，F(xiàn)G∥BC易得四邊形DEFG是矩形，由四邊形D′E′F′G′是正方形，可得

F′G′

FG

=

BF′

BF

=

E′F′

EF

，則FG=EF，所以四邊形DEFG為正方形；
（2）設(shè)正方形DEFG的邊長為x，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，得出BD，DE，EC的長，再由BD+DE+EC=6+

3

，列出方程，求解即可得出正方形的邊長．

解答：證明：（1）∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，EF∥GD，
∵FG∥BC，
∴四邊形DEFG是矩形，
∵四邊形D′E′F′G′是正方形，
∴E′F′=F′G′，F(xiàn)′G′∥BC，

F′G′

FG

=

BF′

BF

=

E′F′

EF

，
∴FG=EF，
∴四邊形DEFG為正方形；
（2）如圖，

∵四邊形DEFG為正方形，
∴FG∥BC，
設(shè)正方形DEFG的邊長為x，
∵∠ABC=45°，
∴BD=DG=x，
∵∠BAC=75°，
∴∠C=180°-45°-75°=60°，
∴EC=

x

3

=

3

3

x，
∵DE=x，
∵BC=6+

3

，
∴BD+DE+EC=6+

3

，即x+x+

3

3

x=6+

3

，
解得：x=3，
∴正方形DEFG的邊長為3．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．