Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂）請問是否存在實數(shù)k，使得2x₁-3x₂=m²-k成立．若存在，求k的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,根的判別式

專題：計算題

分析：先利用求根公式求出x₁=m，x₂=m+1，則2m-3（m+1）=m²-k，整理得m²+m+3-k=0，當此一元二次方程有實數(shù)解時，2x₁-3x₂=m²-k成立，根據(jù)判別式的意義得到△′=1-4（3-k）≥0，然后解不等式即可．

解答：解：根據(jù)題意得△=（2m+1）²-4（m²+m）=1，
x=

2m+1±1

2

，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∵2x₁-3x₂=m²-k，
∴2m-3（m+1）=m²-k，
整理得m²+m+3-k=0，
△′=1-4（3-k）≥0，
解得k≥

11

4

，
即當k≥

11

4

時，使得2x₁-3x₂=m²-k成立．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．