Question

14．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中點，DE平分∠ADC．
（1）求證：CE平分∠BCD；
（2）求證：AD+BC=CD；
（3）若AB=12，CD=13，求S_△CDE．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥CD垂足為M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及判定定理即可證明．
（2）只要證明△DEA≌△DEM得AD=DM，同理可證CB=CM．
（3）根據(jù)S_△EDC=$\frac{1}{2}$•DC•EM即可計算．

解答 （1）證明：作EM⊥CD垂足為M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE=EM，
∵AE=EB，
∴EM=EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
（2）證明：由（1）可知：AE=EM=EB，
在RT△DEA和RT△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{AE=EM}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△DEM，
∴DA=DM，同理可證：CB=CM
∴CD=DM+MC=AD+BC．
（3）解：由（1）可知：EM=AE=EB=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵EM⊥CD，CD=13，
∴S_△EDC=$\frac{1}{2}$•DC•EM=$\frac{1}{2}$×13×6=39．

點評 本題考查等腰梯形的性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)以及三角形面積公式，根據(jù)角平分線這個條件添加輔助線是解題的關(guān)鍵．