Question

15．如圖，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上一動點（不與B，C重合），∠DAE=60°，過點B作BE∥AC交AE于點E．
（1）求證：△ADE是等邊三角形；
（2）當(dāng)點D在何處時，AE⊥BE？指出點D的位置并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAC=∠C=60°，由∠DAE=60°得到∠DAE=∠BAC，推出∠EAB=∠DAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EBA=∠BAC，推出∠EBA=∠C，證得△AEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AD，即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)D為AC中點時．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，于是得到∠ADC=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEB=∠ADC=90°，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵∠DAE=60°
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∵BE∥AC，
∴∠EBA=∠BAC，
∴∠EBA=∠C，
在△AEB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\\{∠EBA=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形；

（2）當(dāng)D為AC中點時．
∵AB=AC，D為AC中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴AE⊥BE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．