Question

學(xué)完第一章后，老師布置了一道思考題：
如圖，點M、N分別在正△ABC的邊BC、CA上，且BM=CN，直線AM、BN交于點Q．求證：∠BQM=60°．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍為真命題？（不要說明理由）
②若將題中的點M，N分別移到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？若能，請畫出對應(yīng)圖形，并證明．
③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的邊BC，CA上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的邊BC，CD上”，是否仍能得到∠BQM=60°？若能，請畫圖并證明，若不能，請畫圖并求出∠BQM的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)SAA定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②同①可證△ABN≌△CAM，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
③同①可得△ABM≌△BCN（SAS）故∠1=∠2，再由∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM與△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°；

（2）①仍為真命題；
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ABM與△BCN中，

∠1=∠2 AB=BC ∠ABC=∠C

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②如圖2所示，
同①可證△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°；
③不能得到∠BQM=60°，當(dāng)正△ABC換成正方形ABCD時，∠BQM=90°，
如圖3所示，同①可得△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°，即∠BQM=90°．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知等邊三角形及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識是解答此題的關(guān)鍵．