Question

17．在等腰△ABC中，AC=BC，其內(nèi)切圓分別與邊AB、BC、CA切于點(diǎn)D、E、F．一條過點(diǎn)A且異于AE的直線交△ABC的內(nèi)切圓于點(diǎn)P、G，EP、EG分別交AB于點(diǎn)K、L．求證：DK=DL．

Answer 1

分析 由題意易知AD=DB，所以欲證明DK=DL，只要證明AK=BL，只要證明△AFK≌△BEL即可．

解答 證明：連接CD、PF、FK．
∵⊙O是等腰三角形的內(nèi)切圓，圓、等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形，
∴CD⊥AB，AD=DB，CD平分EF劣弧、EF優(yōu)弧，
∵E、F是切點(diǎn)，
∴CF=CE，
∵CA=CB，
∴AF=BE，
∵∠BKE=$\frac{1}{2}$（DE弧度-DP弧度）=$\frac{1}{2}$（DF弧度-DP弧度）=$\frac{1}{2}$PF弧度=∠AFP，
∴點(diǎn)A、F、K、P四點(diǎn)共圓，
∴∠AFK=∠APK，
∵∠APK=∠EPG=$\frac{1}{2}$EG弧度=∠BEG=∠BEG
在△AFK和△BEL中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAK=∠B}\\{AF=BE}\\{∠AFK=∠BEL}\end{array}\right.$，
∴△AFK≌△BEL，
∴AK=BL，
∴KD=DL．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，本題難點(diǎn)是證明∠AFK=∠BEL，這里用了四點(diǎn)共圓的判定以及性質(zhì)，還用到圓外角與所夾弧的度數(shù)之間的關(guān)系定理．