Question

19．在直線AB上，點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AP的中點(diǎn)，若AB=m，且使關(guān)于x的方程mx+4=2（x+m）有無(wú)數(shù)個(gè)解．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）試說(shuō)明線段MN的長(zhǎng)與點(diǎn)P在線段AB上的位置無(wú)關(guān)；
（3）若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，試說(shuō)明$\frac{PA+PB}{PC}$的值不變．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)關(guān)于x的方程mx+4=2（x+m）有無(wú)數(shù)個(gè)解求出m的值即可；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分別用BP，AP表示出PM與PN的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由各線段之間的關(guān)系可得出結(jié)論．

解答 解：（1）方程mx+4=2（x+m）可化為（m-2）x=2m-4，
∵關(guān)于x的方程mx+4=2（x+m）有無(wú)數(shù)個(gè)解，
∴m-2=0，即m=2，
∴線段AB的長(zhǎng)為2；

（2）如圖1，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AP的中點(diǎn)，AB=m，
∴PM=$\frac{1}{2}$BP，PN=$\frac{1}{2}$AP，
∴MN=MP+NP
=$\frac{1}{2}$AB
=$\frac{1}{2}$m；

（3）如圖2，∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴PA+PB=PC-AC+PC+BC=2PC，
∴$\frac{PA+PB}{PC}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．