Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．若數(shù)列{

f(n)

g(n)

}的前n項(xiàng)和大于62，則n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出

f(x)

g(x)

=a^x，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出

f(x)

g(x)

=a^x是增函數(shù)，利用

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

推導(dǎo)出a=2．從而得到數(shù)列{

f(n)

g(n)

}為{2ⁿ}．由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1），
∴

f(x)

g(x)

=a^x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（

f(x)

g(x)

）′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
∴

f(x)

g(x)

=a^x是增函數(shù)，
∴a＞1，
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．
∴a¹+a^-1=

5

2

，解得a=

1

2

或a=2．
綜上得a=2．
∴數(shù)列{

f(n)

g(n)

}為{2ⁿ}．
∵數(shù)列{

f(n)

g(n)

}的前n項(xiàng)和大于62，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2＞62，
即2ⁿ⁺¹＞64=2⁶，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，巧妙地把指數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列融合在一起，是一道好題．