Question

設(shè)函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化成f'（x）≥0在區(qū)間（0，4）上恒成立，討論k的符號(hào)，從而求出所求．

解答： 解：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，4）上恒成立
當(dāng)k=0時(shí)，f'（x）=-6＜0，顯然不成立；
當(dāng)k＞0時(shí)，由于二次函數(shù)y=3kx²+6（k-1）x，開口向上，始終過原點(diǎn)，
對稱軸為x=-

1

2

•

6(k-1)

3k

=

1-k

k

，
只有當(dāng)

1-k

k

≤0時(shí)，才滿足3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，4）上恒成立，解得k≥1；
當(dāng)k＜0時(shí)，由于二次函數(shù)y=3kx²+6（k-1）x，開口向下，始終過原點(diǎn)，
對稱軸為x=

1-k

k

，
只有當(dāng)

1-k

k

≥0，且f'（4）≥0，時(shí)才滿足，解得此時(shí)k≥

1

2

，顯然與k＜0矛盾，故應(yīng)舍去．
綜上，可知k≥1
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，同時(shí)考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．