Question

15．已知f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，求：
（1）f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若方程f（x）-m+1=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數的最小正周期、正弦函數的圖象的對稱性，得出結論．
（2）求出y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的減區(qū)間，即為f（x）的單調遞增區(qū)間，再利用正弦函數的單調性得出結論．
（3）由題意可得函數f（x）的圖象和直線y=m-1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有交點，根據正弦函數的定義域和值域求出f（x）的值域，可得m的范圍．

解答 解：（1）由于f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，故函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，可得函數f（x）的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
（3）若方程f（x）-m+1=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，則函數f（x）的圖象和直線y=m-1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有交點．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，f（x）∈[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
故m-1∈[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5}{2}$]，∴m∈[3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

點評 本題主要考查正弦函數的最小正周期、正弦函數的圖象的對稱性、單調性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．