Question

德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對(duì)這四門課程考試是否合格相互獨(dú)立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨(dú)立，

課     程	初等代數(shù)	初等幾何	初等數(shù)論	微積分初步
合格的概率	3 4	2 3	2 3	1 2

（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；
（2）記ξ表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分別記甲對(duì)這四門課程考試合格為事件A，B，C，D，“甲能能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為P（ABCD）+P（ABC

.

D

）+P（AB

.

C

D），由事件A，B，C，D相互獨(dú)立能求出結(jié)果．
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，ξ～B（3，

5

12

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）分別記甲對(duì)這四門課程考試合格為事件A，B，C，D，
且事件A，B，C，D相互獨(dú)立，
“甲能能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為：
P（ABCD）+P（ABC

.

D

）+P（AB

.

C

D）
=

3

4

•

2

3

•

2

3

•

1

2

+

3

4

•

2

3

•

2

3

•

1

2

+

3

4

•

2

3

•

1

3

•

1

2

=

5

12

．
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，ξ～B（3，

5

12

），
P（ξ=0）=

C

0 3

(

7

12

)3=

343

1728

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

5

12

)(

7

12

)2=

735

1728

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

5

12

)2(

7

12

)=

525

1728

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

5

12

)3=

125

1728

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	343 1728	735 1728	525 1728	125 1728

∵ξ～B（3，

5

12

），
∴Eξ=3×

5

12

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，是中檔題．