Question

7．用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 在定義域上任取x₁＜x₂，只需證明f（x₁）＞f（x₂）即可．

解答 解：在（1，+∞）內(nèi)任取兩數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}-1}-\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．