Question

給出定義：若x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]（其中m為整數(shù)），則m叫做與實數(shù)x“親密的整數(shù)”，記作{x}=m，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④當x∈（0，2]時，函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有兩個零點．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①x∈（0，1）時，m=

1

2

，可得f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；
②利用新定義，可得{k-x}=k-m，從而可得f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x）；
③驗證{x+1}={x}+1=m+1，可得f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）；
④由上，在同一坐標系中畫出函數(shù)圖象，即可得到當x∈（0，2]時，函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有兩個零點．

解答： 解：①x∈（0，1）時，m=

1

2

，
∴f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，函數(shù)在（-∞，

1

2

）上是減函數(shù)，在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，故①不正確；
②∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴k-m-

1

2

＜k-x≤k-m+

1

2

（m∈Z），
∴{k-x}=k-m，
∴f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈z）對稱，故②正確；
③∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，
∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④由題意，當x∈（0，2]時，函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有兩個零點．
∴正確命題的序號是：②③④．
故答案為：②③④

點評：本題為新定義題目，考查了函數(shù)奇偶性，周期性，單調(diào)性，對稱性的判斷，解題的關(guān)鍵是讀懂定義內(nèi)涵，嘗試探究解決，屬于中檔題．