Question

20．作邊長為1的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)做新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的面積之和為$\frac{π}{9}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)第n正三角形的內(nèi)切圓的邊角為r_n，則r₁=$\frac{1}{2}tan\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$，r₂=${r}_{1}sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}{r}_{1}$，…．可得數(shù)列$\{{r}_{n}^{2}\}$為等比數(shù)列，首項為$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}$，公比為$\frac{1}{4}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)第n正三角形的內(nèi)切圓的邊角為r_n，
則r₁=$\frac{1}{2}tan\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$，r₂=${r}_{1}sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}{r}_{1}$，…．
∴數(shù)列$\{{r}_{n}^{2}\}$為等比數(shù)列，首項為$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}$，公比為$\frac{1}{4}$，
∴所有這些圓的面積之和=$\frac{π（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{π}{9}$．
故答案為：$\frac{π}{9}$．

點評 本題考查了正三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的面積、等比數(shù)列的前n項和及其極限，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．