Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞-2$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，從而求切線方程即可；
（2）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，從而可得f′（1）=0，解出a=1；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）恒成立可化為對?x∈（0，+∞），f′（x）＞-2恒成立，從而可化為2ax²-ax+1＞0，討論即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，
故f（1）=1-3+1=-1，f′（1）=2-3+1=0，
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-1，即y+1=0；
（2）∵f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，
∴f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，
∵函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極值，
∴f′（1）=0，
∴a=1；
∴f′（x）=$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）；
（3）∵對?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞-2$恒成立，
∴對?x∈（0，+∞），f′（x）＞-2恒成立，
f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$＞-2，
即2ax-a+$\frac{1}{x}$＞0，
即$\frac{2a{x}^{2}-ax+1}{x}$＞0，
即2ax²-ax+1＞0，
若a＜0，存在x∈（0，+∞），使2ax²-ax+1＜0；
故不成立；
若a=0，恒成立；
若a＞0，2ax²-ax+1=2a（x-$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{a}{8}$＞0，
故1-$\frac{a}{8}$＞0，
故0＜a＜8；
綜上所述，a的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．