Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x+b

（a、b為常數(shù)）．
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0；
（2）若a=1，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＞

-1

(x+b)2

恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,其他不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）f（x-1）＜0即f(x-1)=

x-1+a

x

＜0，按照1-a與0的大小關(guān)系分三種情況討論可解不等式；
（2）a=1時(shí)不等式可化為

x+1

x+b

＞

-1

(x+b)2

?(x+b)(x+1)＞-1（※），由x≠-b可知b∉[-2，1]，分離出參數(shù)b后化為函數(shù)的最值即可，由基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f（x-1）＜0即f(x-1)=

x-1+a

x

＜0，
①當(dāng)1-a＞0，即a＜1時(shí)，不等式的解集為：（0，1-a）；
②當(dāng)1-a=0，即a=1時(shí)，不等式的解集為：x∈ϕ；
③當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，不等式的解集為：（1-a，0）．
（2）a=1時(shí)，f（x）＞

-1

(x+b)2

即

x+1

x+b

＞

-1

(x+b)2

?(x+b)(x+1)＞-1（※）且x≠-b，
不等式恒成立，則b∉[-2，1]；
又當(dāng)x=-1時(shí)，不等式（※）顯然成立；
當(dāng)-1＜x≤2時(shí)，b＞-

1

x+1

-x=1-(

1

x+1

+x+1)，
故b＞-1．綜上所述，b＞-1．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立、分式不等式的解法，考查分類討論思想，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力．