Question

有兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子：其中一個(gè)是正四面體，各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4；另一個(gè)是正方體，各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．
現(xiàn)有以下兩種游戲方案可供選擇：
方案一：連續(xù)拋擲正方體骰子三次，每次出現(xiàn)奇數(shù)得2張積分卡，出現(xiàn)偶數(shù)不得積分卡，
方案二：順次完成以下三步．
第一步：拋擲正方體骰子一次，出現(xiàn)不大于4的數(shù)字得2張積分卡，出現(xiàn)大于4的數(shù)字不得積分卡；
第二步：拋擲正四面體骰子一次，出現(xiàn)不大于3的數(shù)字得1張積分卡，出現(xiàn)大于3的數(shù)字不得積分卡；
第三步：拋擲正方體骰子一次，出現(xiàn)小于5的數(shù)字得2張積分卡，出現(xiàn)不小于5的數(shù)字不得積分卡．
（Ⅰ）求采用方案一所得到的總積分卡數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）為了得到更多的積分卡，你該選擇上述哪種方案？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知，X的所有可能取值為0，2，4，6，分別求出P（X=0），P（X=2），P（X=4），P（X=6），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）設(shè)方案二所得到的積分卡總數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求了P（Y=0），P（Y=1），P（Y=2），P（Y=3），P（Y=4），P（Y=5），由此能求出EY，比較EX和EY的大小，能求出為了得到更多的積分卡，應(yīng)該選擇哪種方案．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，X的所有可能取值為0，2，4，6，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

2

)0(1-

1

2

)3=

1

8

，
P（X=2）=

C

1 3

(

1

2

)(1-

1

2

)2=

3

8

，
P（X=4）=

C

2 3

（

1

2

）²（

1

2

）=

3

8

，
P（X=6）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
∴X的分布列為：

X	0	2	4	6
P	1 8	3 8	3 8	1 8

EX=0×

1

8

+2×

3

8

+4×

3

8

+6×

1

8

=3．
（Ⅱ）為了得到更多的積分卡，應(yīng)該選擇方案二，理由如下：
設(shè)方案二所得到的積分卡總數(shù)為Y，
則Y的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，
P（Y=0）=

2

6

×

1

4

×

2

6

=

1

36

，
P（Y=1）=

2

6

×

3

4

×

2

6

=

3

36

，
P（Y=2）=

4

6

×

1

4

×

2

6

+

2

6

×

1

4

×

4

6

=

4

36

，
P（Y=3）=

4

6

×

3

4

×

2

6

+

2

6

×

3

4

×

4

6

=

12

36

，
P（Y=4）=

4

6

×

1

4

×

4

6

=

4

36

，
P（Y=5）=

4

6

×

3

4

×

4

6

=

12

36

，
∴EY=0×

1

36

+1×

3

36

+2×

4

36

+3×

12

36

+4×

4

36

+5×

12

36

=

41

12

，
∵EX＜EY，
∴為了得到更多的積分卡，應(yīng)該選擇方案二．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率知識的合理運(yùn)用，是中檔題．