Question

設數列{a_n}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

log 1 2 an

，cn=bnbn+1，記S_n=c₁+c₂+…+c_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用數列前n項和與通項公式的關系即可得出通項公式；
（2）利用對數的運算法則和“裂項求和”即可得出．

解答： （1）解：∵數列{a_n}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
∴當n≥2時，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

．
∴2n-1an=

1

2

，即an=

1

2n

．
當n=1時，a1=

1

2

也成立．
故an=

1

2n

．（n∈N^*）．
（2）證明：∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 1 2n

=

1

n

，∴cn=bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．

點評：本題考查了數列前n項和與通項公式的關系、對數的運算法則和“裂項求和”方法，屬于中檔題．