Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

log 1 2 an

，cn=bnbn+1，記S_n=c₁+c₂+…+c_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系即可得出通項(xiàng)公式；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

．
∴2n-1an=

1

2

，即an=

1

2n

．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

也成立．
故an=

1

2n

．（n∈N^*）．
（2）證明：∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 1 2n

=

1

n

，∴cn=bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和“裂項(xiàng)求和”方法，屬于中檔題．