Question

設函數f(x)=sin2ωx+2

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+λ，（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈(

1

2

，1)．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經過點(

π

4

，0)，求函數f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：

分析：（1）利用二倍角的正弦與余弦可求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，利用其圖象關于直線x=π對稱，可求得sin（2ωπ-

π

6

）=±1，繼而得ω=

k

2

+

1

3

（k∈Z），于是可求得ω及函數f（x）的最小正周期；
（2）由y=f（x）的圖象過點（

π

4

，0），可求得λ=-

2

，于是知f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，x∈[0，

π

2

]⇒

5

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函數的性質可求得x∈[0，

π

2

]時函數f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωx•cosωx+λ
=-cos2ωx+

3

sin2ωx+λ
=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得：
sin（2ωπ-

π

6

）=±1，
∴2ωπ-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），即ω=

k

2

+

1

3

（k∈Z）．
又ω∈（

1

2

，1），k∈Z，
∴k=1，故ω=

5

6

．
∴f（x）的最小正周期是

6π

5

．
（2）由y=f（x）的圖象過點（

π

4

，0），得f（

π

4

）=0，
即λ=-2sin（

5

6

×

π

2

-

π

6

）=-2sin

π

4

=-

2

，
即λ=-

2

．
故f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

5

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴-

1

2

≤sin（

5

3

x-

π

6

）≤1，
∴函數f（x）的值域為[-1-

2

，2-

2

]．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的周期性、對稱性與單調性，屬于難題．