Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）對(duì)，是否存在，使得成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，且，求證： ．

Answer 1

（Ⅰ）1－ln2；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)區(qū)間和極小值；（Ⅱ）函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，表示極大值g（0）大于零而極小值g（）小于零，得到m的范圍，進(jìn)而得到g（－1）和g（e）的范圍，由此得出a，b，c滿足的不等關(guān)系；（Ⅲ）由題意，，而，，∴，解出m的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ）時(shí)，．

∴ 1分

由，解得；由，解得；

∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增． 2分

∴． 2分

（Ⅱ）令，其中

由題意，對(duì)恒成立，

∵

∵，∴在二次函數(shù)中，，

∴對(duì)恒成立

∴對(duì)恒成立， ∴在上單減．

∴，即．

故存在使對(duì)恒成立． 4分

（Ⅲ），易知為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，

∵，∴，因此據(jù)題意知，函數(shù)的最大的零點(diǎn)，

下面討論的零點(diǎn)情況，

∵．

易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

由題知必有兩個(gè)零點(diǎn)，

∴，解得，

∴，即． 3分

∴． 1分

又．

．

．

，得證． 1分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，極值，范圍問題，恒成立問題