Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…P_n（a_n，b_n）（n∈N₊）都在函數(shù)y=log 

1

2

x的圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b_n＞0（n∈N₊）且2S_n=b_n²+b_n，數(shù)列{c_n}滿足c_n=2a_ncos²

π

2

π，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)公差為d，則b_n+1-b_n=d對(duì)∈N^*恒成立，依題意an=(

1

2

)bn，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=b12+b1，b_n＞0，b₁=1．當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，2Sn-1=bn-12+bn-1，由此推導(dǎo)出b_n=n．從而能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)T_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
設(shè)公差為d，則b_n+1-b_n=d對(duì)∈N^*恒成立，
依題意bn=log

1

2

an，∴an=(

1

2

)bn，
∴

an+1

an

=(

1

2

)bn+1-bn=（

1

2

）^d是定值，
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
（2）解：當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=b12+b1，b_n＞0，b₁=1．
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，2Sn-1=bn-12+bn-1，
∴2Sn-2Sn-1=bn2-bn-12+b_n-b_n-1，
b_n+b_n-1=（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1），
∵b_n＞0，∴b_n-b_n-1=1，n≥2，n∈N^*，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，
∴b_n=n．
由（1）知{a_n}是等比數(shù)列，且an=(

1

2

)n，
∵cn=2ancos2

n

2

π=a_n（cosnπ+1）=an(1)n+1=（-

1

2

）ⁿ+（

1

2

）ⁿ，
Tn=

2

3

+

1

3

(-

1

2

)n-(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．