Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x+

π

6

）有下列命題：
①y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②y=f（x）的一條對稱軸為x=-

π

3

；
③y=f（x）在區(qū)間（

π

6

，

2π

3

）上單調(diào)遞減；
④將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移

π

6

個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．
其中正確命題的序號是

 

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：化簡函數(shù)f（x），由周期公式求出周期判斷①；直接把x=-

π

3

代入函數(shù)解析式求值判斷②；
由簡單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)減區(qū)間判斷③；利用函數(shù)圖象的平移判斷④．

解答： 解：∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x+

π

6

）
=cos（

π

3

-2x）+sin（2x+

π

6

）=2sin（2x+

π

6

）．
∴y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)．命題①正確；
當(dāng)x=-

π

3

時，f(-

π

3

)=2sin[2×(-

π

3

)+

π

6

]=2sin(-

π

2

)=-2．
∴y=f（x）的一條對稱軸為x=-

π

3

．命題②正確；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
取k=0得，

π

6

≤x≤

2π

3

．
∴y=f（x）在區(qū)間（

π

6

，

2π

3

）上單調(diào)遞減．命題③正確；
函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移

π

6

個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2cos2(x+

π

6

)=2cos(2x+

π

3

)．與f（x）的圖象不重合．命題④錯誤．
∴正確命題的序號是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．