如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3

2

，點(diǎn)E在側(cè)棱AA₁上，點(diǎn)F在側(cè)棱BB₁上，D為線段CE上任意一點(diǎn)，且AE=2

2

，BF=

2

．
（I） 求證：C₁E⊥FD；
（Ⅱ） 若D為線段CE的中點(diǎn)，求二面角C₁-FD-E的余弦值的大�。�

已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，求證：

a

⊥

b

．

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂

1-x

1+x

．①討論該函數(shù)的奇偶性．②判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明．

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是A₁B₁，AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：平面MAC₁⊥平面ABC₁．

定義：我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度之比即e=

c

a

，叫做橢圓的離心率．若兩個(gè)橢圓的離心率e相同，稱這兩個(gè)橢圓相似．
（1）判斷橢圓C₁：

x2

100

+

y2

25

=1與橢圓C₂：

x2

4

+y²=1是否相似？并說明理由；
（2）若橢圓Γ₁：

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞2）與橢圓Γ₂：

x2

8

+

y2

16

=1相似，求a的值；
（3）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+6與（2）中的橢圓Γ₁交于M、N兩點(diǎn)，試探究：在橢圓Γ₁上是否存在異于M、N的定點(diǎn)Q，使得直線QM、QN的斜率之積為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和是S_n，a₃=6，S₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，3），且離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在過點(diǎn)B（0，-4）的直線l交橢圓于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足

OM

•

ON

=

16

7

（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

3名教師與4名學(xué)生排成一橫排照相，求
（1）3名教師必須排在一起的不同排法有多少種？
（2）3名教師必須在中間（在3、4、5位置上）的不同排法有多少種？
（3）3名教師不能相鄰的不同排法有多少種？

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-x²-3ax+b．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

已知a+b+c=1，
（1）求S=2a²+3b²+c²的最小值及取最小值時(shí)a，b，c的值．
（2）若2a²+3b²+c²=1，求c的取值范圍．