上海市盧灣區(qū)2009年高考模擬考試
數(shù)學試卷(文科) 2009. 04
說明:本試卷滿分150分,考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙,每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置,本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。
一、填空題(本大題滿分55分)本大題共有11小題,要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分,填錯或不填在正確的位置一律得零分.
1.若集合,則 .
2.不等式的解為 .
3.設的反函數(shù)為,若函數(shù)的圖像過點,且, 則
.
4.若,,其中為虛數(shù)單位,且,則實數(shù) .
5.二項式的展開式中的常數(shù)項為 .
6.若點是圓內(nèi)異于圓心的點,則直線
與該圓的位置關(guān)系是 .
7.若、滿足,則的最大值是 .
8.右圖給出的是計算的值的一個框圖,
其中菱形判斷框內(nèi)應填入的條件是 .
9.在中,設角、、所對的邊分別是、、,若,
且, 則 .
10.若函數(shù)能使得不等式在區(qū)間上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 .
11.在平面直角坐標系中,若為坐標原點,則、、三點在同一直線上的充要條件為存在惟一的實數(shù),使得成立,此時稱實數(shù)為“向量關(guān)于和的終點共線分解系數(shù)”.若已知、,且向量是直線的法向量,則“向量關(guān)于和的終點共線分解系數(shù)”為 .
二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題有且只有一個結(jié)論是正確的,必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應的空格中. 每題選對得5分,不選、選錯或選出的代號超過一個,或者沒有填寫在題號對應的空格內(nèi),一律得零分.
12.若、為兩條不同的直線,、為兩個不同的平面,則以下命題正確的是( )
A.若,,則; B.若,,則;
C.若,,則; D.若,,則.
13.若函數(shù),則當時,可化簡為
( )
A.; B.; C.; D..
14.設數(shù)列的前項之和為,若(),則 ( )
A.是等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列; B.是等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列;
C.是等差數(shù)列,或是等比數(shù)列; D.可以既不是等比數(shù)列,也不是等差數(shù)列.
15.關(guān)于函數(shù)和實數(shù)、的下列結(jié)論中正確的是 ( )
A.若,則; B.若,則;
C.若,則; D.若,則.
三、解答題(本大題滿分75分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.
16. (本題滿分12分,第1小題4分,第2小題8分)
如圖,已知點在圓柱的底面圓上,
為圓的直徑.
(1)求證:;
(2)若圓柱的體積為,,
,求異面直線與所成的角(用
反三角函數(shù)值表示結(jié)果).
17. (本題滿分14分,第1小題6分,第2小題8分)
袋中有8個僅顏色不同,其它都相同的球,其中1個為黑球,3個為白球,4個為紅球.
(1)若從袋中一次摸出2個球,求所摸出的2個球恰為異色球的概率;
(2)若從袋中一次摸出3個球,求所摸得的3球中,黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球的個數(shù)的不同摸法的種數(shù).
18. (本題滿分14分,第1小題6分,第2小題8分)
已知數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),都滿足:,其中為實數(shù).
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若為楊輝三角第行中所有數(shù)的和,即,為楊輝三角前行中所有數(shù)的和,亦即為數(shù)列的前項和,求的值.
19.(本題滿分17分,第1小題6分,第2小題11分)
已知函數(shù),.
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),并指出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點,,其中,求的取值范圍.
20. (本題滿分18分,第1小題4分,第2小題5分,第3小題9分)
如圖,已知點,動點在軸上,點
在軸上,其橫坐標不小于零,點在直線上,
且滿足,.
(1)當點在軸上移動時,求點的軌跡;
(2)過定點作互相垂直的直線與,與
(1)中的軌跡交于、兩點,與(1)中的軌跡交于、兩點,求四邊形面積的最小值;
(3)將(1)中的曲線推廣為橢圓:,并將(2)中的定點取為焦點
,求與(2)相類似的問題的解.
上海市盧灣區(qū)2009年高考模擬考試
一、填空題(本大題共11題,每小題5分,滿分55分)
1. 2. 3. 4. 5. 6.相離 7. 8. 9. 10. 11.
二、選擇題(本大題共4題,每小題5分,滿分20分)
12.B 13. D 14.D 15.C
三、解答題(本大題滿分75分)
16.(1)證明:易知,又由平面,得,從而平面,故; (4分)
(2)解:延長交圓于點,連接,,則,得或它的補角為異面直線 與所成的角. (6分)
由題意,解得. (8分)
又,,得,, (10分)
由余弦定理得,得異面直線 與所成的角為. (12分)
17.解:(1)摸出的2個球為異色球的不同摸法種數(shù)為種,從8個球中摸出2個球的不同摸法種數(shù)為,故所求的概率為; (6分)
(2)符合條件的摸法包括以下三種:一種是所摸得的3球中有1個紅球,1個黑球,1個白球,共有種不同摸法, (8分)
一種是所摸得的3球中有2個紅球,1個其它顏色球,共有種不同摸法, (10分)
一種是所摸得的3球均為紅球,共有種不同摸法, (12分)
故符合條件的不同摸法共有種. (14分)
18.解:(1) 由已知,,相減得,由得,又,得,故數(shù)列是一個以為首項,以為公比的等比數(shù)列. (4分)
從而 ; (6分)
(2), (7分)
又,故, (11分)
于是,
當,即時,,
當,即時,,
當,即時,不存在. (14分)
19.(1)證明:任取,,且,
.
所以在區(qū)間上為增函數(shù). (5分)
函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù). (6分)
(2)解:因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),相應的函數(shù)值為,在區(qū)間上為減函數(shù),相應的函數(shù)值為,由題意函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點,故有, (8分)
易知,分別位于直線的兩側(cè),由,得,故,,又,兩點的坐標滿足方程,故得,,即,,(12分)
故,
當時,,.
因此,的取值范圍為. (17分)
20. 解:(1)設,易知,,,由題設,
得其中,從而,,且,
又由已知,得,
當時,,此時,得,
又,故,,
即,,
當時,點為原點,為軸,為軸,點也為原點,從而點也為原點,因此點的軌跡的方程為,它表示以原點為頂點,以為焦點的拋物線; (4分)
(2)由題設,可設直線的方程為,直線的方程為,,又設、,
則由,消去,整理得,
故,同理, (7分)
則,
當且僅當時等號成立,因此四邊形面積的最小值為.
(9分)
(3)當時可設直線的方程為,
由,得,
故,, (13分)
,
當且僅當時等號成立. (17分)
當時,易知,,得,
故當且僅當時四邊形面積有最小值. (18分)
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