12、(江蘇省常州市2008-2009高三第一學(xué)期期中統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)試題)設(shè)求的最大值.
7′
當(dāng)且僅當(dāng) 且
F有最小值 10′
11、(福建省德化一中2009屆高三上學(xué)期第三次綜合測試)已知不等式對恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
解:由不等式得,…………………………1分
又∵∴,…………………………3分
對于,的最小值是0………………………5分
故要使得原不等式恒成立,只需…………………………7分
10、(福建省福州三中高三年級第二次月考)已知函數(shù)有兩個實根為
。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),解關(guān)于的不等式。
解:(1)依題意………………2分
∴……………………4分
解得……………………5分
∴……………………6分
(2)由(1)得
∴
∴………………8分
①當(dāng)k>2時,或
②當(dāng)k=2時,
∴
③當(dāng)1<k<2時,1<x<k或x>2……………………11分
綜上所述,當(dāng)k>2時,不等式解集為
當(dāng)k=2時,不等式解集為
當(dāng)不等式解集為………………12分
9、(西南師大附中高2009級第三次月考)已知
(1)若p > 1時,解關(guān)于x的不等式;
(2)若對時恒成立,求p的范圍.
解:(1) ······················································································ 1分
①········································ 3分
② p = 2時,解集為····················································· 5分
③ p > 2時,解集為··········································· 7分
(2)
··········································································· 8分
∴ 恒成立
∴ 恒成立······································ 9分
∵ 上遞減·················································· 10分
∴ ················································································ 11分
∴ p > 2 ·································································································· 12分
8、(山東省平邑第一中學(xué)2009屆高三元旦競賽試題)某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。
(I) 寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=;
寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=;
(II) 認定市場售價減去種植成本為純收益,問何時上市的西紅柿收益最大?
(注:市場售價和種植成本的單位:元/kg,時間單位:天)
本小題主要考查函數(shù)圖象建立的函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題,考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。滿分12分。
解:(I)由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為
由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為
,
(II)設(shè)時刻的純收益為,則由題意得
,
即
當(dāng)時,配方整理得
,
所以,當(dāng)=50時,取得區(qū)間上的最大值100;
當(dāng) 時,配方整理得
,
所以,當(dāng)時,取得區(qū)間上的最大值87.5;
綜上,由100>87.5可知,在區(qū)間上可以取最大值100,此時, ,即從二月一日開始的第50天時,上市的西紅柿純收益最大。
7、(湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題)如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點,已知|AB|=3米,|AD|=2米,
(1) 要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2) 若|AN| (單位:米),則當(dāng)AM、AN的長度是多少時,矩形花壇AMPN的面積最大?并求出最大面積.
解:設(shè)AN的長為x米(x >2)
∵,∴|AM|=
∴SAMPN=|AN|•|AM|=
(1)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴ 即AN長的取值范圍是
(2)令y=,則y′=
∵當(dāng),y′< 0,∴函數(shù)y=在上為單調(diào)遞減函數(shù),
∴當(dāng)x=3時y=取得最大值,即(平方米)
此時|AN|=3米,|AM|=米
6、(四川省成都市高2009屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)已知函數(shù)f(x)=(x≠0,a>0,c<0),當(dāng)x∈[1,3]時,函數(shù)f(x)的取值范圍恰為[-,]
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若向量=(-,),=(k2+k+2,3k+1)(k>-1,且k≠0),解關(guān)于x的不等式f(x)<·
解:(1)f(x)=) ∵a>0,c<0,∴f '(x)=)>0 ∴函數(shù)f(x)在[1,3]上是增函數(shù) ……3' 由 Þ a=2,c=-4 ∴f(x)=(x≠0) ……5' (2)∵·=- ……6' ∴f(x)<· ó <- ó < ó <0 ó <0 ……8' ∵k>-1,且k≠0,∴k+1>0 于是-1<k<0時,x∈(-∞,2k)∪(0,k+1) 0<k<1時,x∈(-∞,0)∪(2k,k+1) k=1時,x∈(-∞,0) k>1時,x∈(-∞,0)∪(k+1,2k) ……12'
5、(河北省衡水中學(xué)2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期中考試)建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設(shè)計其斷面面積為平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長(梯形的上底線段與兩腰長的和)要最小.
(1) 求外周長的最小值,此時防洪堤高h為多少?
(2) 如防洪堤的高限制在范圍內(nèi),外周長最小為多少米?
解: (1)有題意,
所以
設(shè)外圍周長為,則
當(dāng),即時等號成立.
所以外圍的周長的最小值為米,此時堤高米.--------------8分
(2)由(1),由導(dǎo)數(shù)或定義可證明在單調(diào)遞增,
所以的最小值為米(當(dāng))-------------------12分
4、(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)解不等式
解:(1)
即…………………………3分
得…………………………4分
所以原不等式的解集為……………………5分
3、(江西省南昌二中2008-2009學(xué)年度第一輪第二次段考)已知,b為正數(shù),求證+1>成立的充要條件是對于任何大于1的正數(shù),
恒有+>b.
證明:⑴ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2>b;
⑵因為ax+>b對于大于1的實數(shù)x恒成立,即x>1,[ax+]min>b.
而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,
當(dāng)且僅當(dāng)a(x-1)=時,即x=1+>1時等號成立.
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