Question

11．定義感知：若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為Q，則稱(chēng)直線(xiàn)PQ是該拋物線(xiàn)的“隨形線(xiàn)”．
初步運(yùn)用：判斷下列倫斷是否正確？正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤“×”；
1．對(duì)稱(chēng)軸不是y軸的拋物線(xiàn)有且只有一條“隨形線(xiàn)”．（√）
2．拋物線(xiàn)y=x²-4x+2的“隨形線(xiàn)”是直線(xiàn)y=2x+2．（×）
拓展延伸：若直線(xiàn)y=-3x+3是某拋物線(xiàn)的“隨形線(xiàn)”，該“隨形線(xiàn)”與y軸交于點(diǎn)Q，且拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P與點(diǎn)Q相距2$\sqrt{10}$個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）試求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）問(wèn)所得到的拋物線(xiàn)能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭�，才能使平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{2}{x}^{2}$？若能，說(shuō)明平移的方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 1．根據(jù)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，可得答案；
2．根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（1）根據(jù)“隨形線(xiàn)”，可得拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式中a的值相同，函數(shù)圖象可平移得到，根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．

解答 解：1．過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，故對(duì)稱(chēng)軸不是y軸的拋物線(xiàn)有且只有一條“隨形線(xiàn)”正確，（√）
2．y=x²-4x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），
拋物線(xiàn)y=x²-4x+2的“隨形線(xiàn)”是直線(xiàn)y=-2x+2．（×）
故答案為：√，×；
（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-3m+3），
由PQ=2$\sqrt{10}$，得m²+（3m-3+3）²=（2$\sqrt{10}$）²，
解得m₁=2，m₂=-2，
當(dāng)m=2時(shí)，-3m+3=-3，即頂點(diǎn)P（2，-3）；
當(dāng)m=-2時(shí)，-3m+3=9，即頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，9）．
當(dāng)頂點(diǎn)（2，-3）時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-2）²-3，
將Q（0，3）代入函數(shù)解析式，得4a-3=3，解得a=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)頂點(diǎn)（2，-3）時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3；
當(dāng)頂點(diǎn)（-2，9）時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+2）²+9，
將Q（0，3）代入函數(shù)解析式，得4a+9=3，解得a=-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)頂點(diǎn)（2，-3）時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²-3；
綜上所述：拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3或y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²-3；
（2）當(dāng)拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3時(shí)，可平移得到拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{2}$x²，
y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3的圖象向左平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位得到拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{2}$x²；
當(dāng)拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²-3時(shí)不能平移得到拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{2}$x²，理由如下：
a不同，拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向不同，形狀不同，平移不能使拋物線(xiàn)重合．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了直線(xiàn)的性質(zhì)，待定系數(shù)求函數(shù)解析式，把拋物線(xiàn)的解析式設(shè)成頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．圖象平移的規(guī)律是：左加右減，上加下減．