Question

12．（1）分解下列因式，將結果直接寫在橫線上：
x²-2x+1=（x-1）²，25x²+30x+9=（5x+3）²，9x²+12x+4=（3x+2）²．
（2）觀察上述三個多項式的系數，
有（-2）²=4×1×1，30²=4×25×9，12²=4×9×4，于是小明猜測：若多項式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么實系數a、b、c之間一定存在某種關系．
①請你用數學式子表示系數a、b、c之間的關系b²=4ac．
②解決問題：在實數范圍內，若關于x的多項式mx²+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數，m≥n，求系數m與n的值．
（3）在實數范圍內，若關于x的多項式x²+mx+2n和x²+nx+2m都是完全平方式，利用（2）中的規(guī)律求mn的值．

Answer 1

分析 （1）根據完全平方公式分解即可；
（2）①根據已知等式得出b²=4ac，即可得出答案；
②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可；
（3）根據規(guī)律得出m²=8n且n²=8m，組成一個方程，求出mn即可．

解答 解：（1）x²-2x+1=（x-1）²，25x²+30x+9=（5x+3）²，9x²+12x+4=（3x+2）²，
故答案為：（x-1）²，（5x+3）²，（3x+2）²；

（2）①b²=4ac，
故答案為：b²=4ac；

②∵關于x的多項式mx²+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數，m≥n，
∴8²=4mn，
∴只有三種情況：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2；

（3）∵關于x的多項式x²+mx+2n和x²+nx+2m都是完全平方式，
∴m²=4×2n=8n且n²=4×2m=8m，
∴m²n²=64mn，
∴m²n²-64mn=0，
∴mn（mn-64）=0，
∴mn=0（舍去）或mn=64．

點評 本題考查了對完全平方公式的理解和應用，能根據完全平方公式得出b²=4ac是解此題的關鍵．