Question

19．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點A作BD的垂線，垂足為E，若∠EAD=3∠BAE，則∠AOE=45°．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形性質求出OA=OB，∠BAD=90°，求出∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，再求出∠ABO的度數(shù)以及∠OAB的度數(shù)，得出∠OAE的度數(shù)，即可得出結果．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠OAE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠AOE=90°-∠OAE=45°；
故答案為：45°．

點評 本題考查了矩形性質、等腰三角形性質、三角形的內角和定理；熟練掌握矩形的性質，弄清各個角之間的數(shù)量關系是解決問題的關鍵．