Question

函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=2，且f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜1，則不等式f（x²）＜x²+1中x的取值范圍為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)滿足f′（x）＜1，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出解集即可．

解答： 解：根據(jù)f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)滿足f′（x）＜1，
①當(dāng)f′（x）＜0時(shí)得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即當(dāng)x²＜1時(shí)，得到f（x²）＞f（1）=2即x²+1＞2，解得x²＞1，矛盾；
②當(dāng)0＜f′（x）＜1時(shí)得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
即當(dāng)x²＞1時(shí)，得到f（x²）＞f（1）=2即x²+1＞2，解得x²＞1，所以x＞1或x＜-1
綜上，不等式f（x²）＜x²+1的解集為{x|x＞1或x＜-1}
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性解決實(shí)際問(wèn)題的能力．