Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

x

2

+sinx．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²

x

2

+sinx=cosx+1+sinx=

2

sin(x+

π

4

)+1．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，解得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)．）
（2）由（1）函數(shù)f（x）=

2

sin(x+

π

4

)+1．
∵x∈[0，π]，

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
當(dāng)x+

π

4

=

π

2

時，即x=

π

4

時，sin(x+

π

4

)=1，此時f（x）取得最大值

2

+1；
當(dāng)x+

π

4

=

5π

4

，即x=π時，sin(x+

π

4

)=-

2

2

，此f（x）取得最小值0．

點(diǎn)評：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．