如圖，曲線C由半橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0）與圓弧x²+（y-c）²=a²（y≤0）組成的，F(xiàn)（0，c）為半橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，A₁、A₂和B₁、B₂分別是曲線C與x軸、y軸交點(diǎn)，已知橢圓的離心率e=

1

2

，S △FA1B1=

3

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線l交曲線C于P、Q兩點(diǎn)．
（i）求證：當(dāng)且僅當(dāng)P，Q均在半橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0）上時(shí)，△B₁PQ的周長(zhǎng)L取最大，且最大值為8；
（ii）當(dāng)△B₁PQ的周長(zhǎng)L取最大時(shí)，求弦PQ長(zhǎng)度的取值范圍．

已知橢圓

x2

2

+y²=1及點(diǎn)B（0，-2），過左焦點(diǎn)F₁與B的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，F(xiàn)₂為其右焦點(diǎn)，求△CDF₂的面積．

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD．ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2．DD₁=3，E，F(xiàn)分別是AB與D₁E的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥DF； 
（2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中點(diǎn)，PD⊥BC．求證：
（I）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

（1）用綜合法證明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；
（2）用反證法證明：若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求證a，b，c中至少有一個(gè)大于0．

已知圓O：x²+y²=4．
（1）直線l₁：

3

x+y-2

3

=0與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|；
（2）如圖，設(shè)M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M₁，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M₂，如果直線PM₁、PM₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）過O點(diǎn)任作一直線與直線x=4交于E點(diǎn)，過（2，0）點(diǎn)作直線與OE垂直，并且交直線x=4于F點(diǎn)，以EF為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如過定點(diǎn)求出其坐標(biāo)，如不過，請(qǐng)說明理由．

已知ω是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點(diǎn)，求：
（1）求異面直線C₁E與BD 所成角的余弦值；
（2）求二面角C₁-DE-C的余弦值．

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=

2

AB=2，且VA-PED=

1

3

時(shí)，確定點(diǎn)E的位置，即求出

PE

EB

的值．
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個(gè)三等分點(diǎn)，求二面角A-EF-D的余弦值．

如圖，在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C引直線與⊙O交于點(diǎn)D、E，在⊙O上再取一點(diǎn)F，使

AE

=

AF

．
（Ⅰ）求證：E、D、G、O四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）如果CB=OB，試求

CB

CG

的值．