橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，右焦點(diǎn)到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 過點(diǎn)M（0，-1）作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，滿足

NA

=-

7

5

NB

，求直線l的方程．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)P（

3

，

1

2

），離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）過點(diǎn)Q（0，

1

2

）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與直線y=2交于點(diǎn)M（直線AB不經(jīng)過P點(diǎn)），記PA、PB、PM的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問：是否存在常數(shù)λ，使得

1

k1

+

1

k2

=

λ

k3

？若存在，求出λ的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．

某校共有400名高一學(xué)生，期中考試之后，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣方法從中抽出c名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中成績(jī)，按成績(jī)分組，制成如下的頻率分布表：（低于20分0人）

組號(hào)	第一組	第二組	第三組	第四組	第五組	第六組	第七組	第八組	合計(jì)
分組	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
頻數(shù)	2	2	4	6	15	a	14	3	c
頻率	0.04	0.04	0.08	b	0.3	0.08	0.28	0.06	1

（Ⅰ）求a，b，c的值，并估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分；
（Ⅱ）教導(dǎo)處為了解數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)存在的問題，現(xiàn)決定從前四組中，利用分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取兩人談話，求這兩人都來自同一組的概率．

已知A、B是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右頂點(diǎn)，橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)C、D和x軸上一點(diǎn)P，滿足

AP

=

1

3

AD

+

2

3

AC

．
（1）設(shè)△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，求證：S₁S₃=S₂S₄；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，求x₀的取值范圍．

在△ABC中，AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求△ABC的面積S；
（Ⅱ）求cos（2A+

2π

3

）的值．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），已知點(diǎn)（1，e）和（e，

3

2

）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF₁與直線BF₂平行，若|AF₁|-|BF₂|=

6

2

，求直線AF的斜率．

已知f(x)=

4x

3x2+3

(x∈(0，2))，g(x)=

1

2

x2-lnx-a．
（1）求f（x）的值域；
（2）若?x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范圍；
（3）對(duì)?x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）=g（x₂），求a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）試證明：ln（n+1）＞n-2 （

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）（n∈N^*）

已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[e，e²]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定義域D上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就稱g（x）為f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”．已知函數(shù)f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=2^x-1，若存在x₁∈（0，+∞），對(duì)于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．