題目列表(包括答案和解析)
16、解:(1)設(shè)P(x0,y0)(x0>a,y0>0),又有點
A(-a,0),B(a,0).
…………………………(7分)
∴CD垂直于x軸.若CD過橢圓C1的右焦點,則
故可使CD過橢圓C1的右焦點,此時C2的離心率為.…………(12分)
15、解:設(shè)初中x個班,高中y 個班,則……………(4分)
設(shè)年利潤為s,則……(6分)
作出(1)、(2)表示的平面區(qū)域,如圖,易知當直線1.2x+2y=s過點A時,s有最大值.
由解得A(18,12).……(10分)
(萬元).
即學?梢(guī)劃初中18個班,高中12個班,
可獲最大年利潤為45.6萬元.……(12分)
14、(1)解:作出橢圓的左準線l,作MN⊥l交l于點N.
設(shè),橢圓的離心率是e,橢圓的半焦距是c.
根據(jù)橢圓的定義得:,所以
,同理可得:
所以
由||MF1|·||MF2|的最小值為得:
,解得…………4分
[注:若學生沒有證明|MF1|=
而直接使用此結(jié)論,則(Ⅰ)中扣去1分]
(Ⅱ)解:依題意得雙曲線C2的離心率為2,
設(shè)C2的方程是假設(shè)存在適合題意的常
數(shù),①先來考查特殊情形下的值:
PA⊥x軸時,將x=2c代入雙曲線方程,解得|y|=3c,
因為|AF1|=3c,所以△PAF1是等腰直角三角形,
∠PAF1=90°,∠PF1A=45°,此時=2………7分
②以下證明當PA與x軸不垂直時,∠PAF1=2∠PF1A恒成立.
設(shè),由于點P在第一象限內(nèi),所以直線PF1斜率存在,;
因為PA與x軸不垂直,所以直線PA斜率也存在,.
因為所以,將其代入上式并化簡得:
因為∠PAF1+∠PAx=180°,
所以即tan2∠PF1A=tg∠PAF1.………………12分
因為∠∠所以∠PAF1、
2∠PF1A所以∠PAF1=2∠PF1A恒成立.
綜合①、②得:存在常數(shù),使得對位于雙曲線C2在第一象限內(nèi)的任意一點p,
∠PAF1=2∠PF1A恒成立.……………………14分
[注:②中如果學生認為∠PAF1、2∠PF1A本題不扣分]
13、(I)由題意,設(shè)(),由余弦定理, 得
.
又·,當且僅當時,· 取最大值,
此時取最小值,令,解得,,∴,故所求的軌跡方程為.
(II)設(shè),,則由,可得,
故,∵、在動點的軌跡上,故且,消去可得,解得,
又,∴,解得,故實數(shù)的取值范圍是.
11、當時,有,此時有不等式 (*)先證左不等式,去分母有理化
得證. 再證右不等式,去分母有理化
綜合以上可知,不等式(*)獲證. 故存在常數(shù)滿足題意.
12、(Ⅰ)法一: ,
解得
法二:同上得
(Ⅱ)
20、已知函數(shù)
(1)設(shè)處取得極值,其中求證:;
(2)設(shè)點A(,求證:線段AB的中點C在曲線
19、解關(guān)于x的不等式
18、已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B;雙曲線的一條漸近線方程為3x-5y=0.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
(Ⅱ)在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P,連結(jié)AP交橢圓C1于點M,連結(jié)PB并延長交橢圓C1于點N,若. 求證:
17、 如圖,過點(1,0)的直線l與中心在原點,焦點在x軸上且離心率為的橢圓相交于A、B兩點,直線過線段AB的中點M,同時橢圓上存在一點與右焦點F關(guān)于直線l對稱,求直線l和橢圓的方程.
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