3．用能量守恒定律解題的步驟

①確定研究的對象和范圍，分析在研究的過程中有多少種不同形式的能(包括動能、勢能、內(nèi)能、電能等)發(fā)生變化．

②找出減少的能并求總的減少量ΔE_減，找出增加的能并求總的增加量ΔE_增

③由能量守恒列式，ΔE_減=ΔE_增。

④代入已知條件求解．

[例6]如圖所示，邊長為am的正方體木箱的質(zhì)量為100kg，一人采用翻滾木箱的方法將其移動10 m遠(yuǎn)，則人對木箱做的功至少要多少J？(g取 10m／s²)

　　 解析：人翻滾木箱，若要做功最小，則需要緩慢(或勻速)翻轉(zhuǎn)木箱，不使木箱動能增大，即ΔE_k=0，因此，人對木箱做功，僅需要克服木箱的重力做功(木箱在翻滾一次過程中重心升高一次)，而且翻轉(zhuǎn)木箱的外力 F必須最小，即外力作用點應(yīng)取在A點，并使外力方向與正方體木箱縱截面的對角線相垂直，外力對轉(zhuǎn)軸O的力臂最大，外力F的力矩始終與木箱重力G的力矩平衡．

　　 在木箱翻轉(zhuǎn)前一半過程中，重力G的力臂逐漸減小，外力F的力臂不變，因此，外力F逐漸減小，方向也在不斷改變，此過程屬變力做功過程．這種情況下求外力F的功等于物體重力勢能的增加．

將木箱翻滾一次，木箱向前移動am，若將木箱向前移動10 m遠(yuǎn)，需要翻轉(zhuǎn)的次數(shù)為n=10/a，W_合=mgh，　　 W_F-W_G=0； W_F-[mg(a－)]×=0

所以W_F =5mg(－1)=5×100×10(－1)＝5000(－1)J

　　 答案：5000(－1)J

[例7]：一貨車車廂勻速前進(jìn)時，砂子從車廂上方的漏斗落進(jìn)車廂，在t秒內(nèi)落進(jìn)車廂內(nèi)的砂子的質(zhì)量為m，為維持車廂以速度V勻速前進(jìn)，需加一水平推力，問該推力的功率為多少？

[解析]：將上述過程分段討論如圖，B表示以速度V勻速運動的貨車，A表示落于車上的砂子，設(shè)經(jīng)過時間t后，AB相對靜止，此過程中A的位移為S₁，B的位移為S₂。顯然，S₁=Vt/2，S2=Vt，故S₁/S₂=1/2 。

摩擦力對A做功W₁=f·S₁=½mv²，功率為P₁=½mv²/t

因B勻速運動，故F=f，外力對B做功為W₂=FS₂=fs₂=mv²，

功率為P₂= mv²/t

[例8]：人們在工作、學(xué)習(xí)和勞動都需要能量，食物在人體內(nèi)經(jīng)消化過程；志化為葡萄糖，葡萄糖的分子式為C₆H₁₂O₆，葡萄糖在體內(nèi)又轉(zhuǎn)化為CO₂和H₂O，同時產(chǎn)生能量E=2.80×10⁶J/mol。一個質(zhì)量為60kg的短跑運動員起跑時以1/6s的時間沖出1m遠(yuǎn)，他在這一瞬間消耗體內(nèi)儲存的葡萄糖多少克？

解：運動員在起跑時做變加速度運動，由于時間很短，為解決問題的方便，我們可以認(rèn)為在1/6s內(nèi)運動員做初速為零的勻加速運動。由S=(V₀+V_t)/2·t得運動員沖出1m時的末速度為V_t=2S/t=(2×1)÷1/6=12m/s。運動員在1/6s內(nèi)增加的動能ΔE_k=½mV_t²－½mV₀²=½×60×12²=4320J。消耗的葡萄糖的質(zhì)量為：Δm=ΔE_k/E×180g=0.28g.

[翰林匯例9]：如圖半徑分別為R和r的甲、乙兩圓形軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，現(xiàn)有一小球從斜面上高為3R處的A點由靜止釋放，要使小球能滑上乙軌道并避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，試設(shè)計CD段可取的長度。小球與CD段間的動摩擦因數(shù)為μ，其作各段均光滑。

{解析}：有兩種情況，一種是小球恰過乙軌道

最高點，在乙軌道最高點的mg=mv²/r，從開始運

動到乙軌道最高點，由動能定理得

mg(3R-2r)-μmgCD=½mv²-0聯(lián)立解得

CD=(6R-5r)/2μ，故應(yīng)用CD＜(6R-5r)/2μ。

另一種是小球在乙軌道上運動¼圓周時，速度變?yōu)榱悖�由mg(3R-r)=μmgCD解出CD=(3R-r)/μ，故應(yīng)有CD＞(3R-r)/μ

[例10]如圖所示，三個質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上．現(xiàn)給中間的小球B一個水平初速度v₀，方向與繩垂直．小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長．求：

(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時，小球B的速度．

(2)當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度．

(3)運動過程中小球A的最大動能E_KA和此時兩根繩的夾角θ.

(4)當(dāng)三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大�。�

解析：(1)設(shè)小球A、C第一次相碰時，小球B的速度為，考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為，由動量守恒定律，得　 由此解得

(2)當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

,

解得　 (三球再次處于同一直線)，(初始狀態(tài)，舍去)

所以，三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度為(負(fù)號表明與初速度反向)

(3)當(dāng)小球A的動能最大時，小球B的速度為零。設(shè)此時小球A、C的速度大小為，兩根繩間的夾角為θ(如圖)，則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

另外，

由此可解得，小球A的最大動能為，此時兩根繩間夾角為

(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運動，當(dāng)三個小球處在同一直線上時，以小球B為參考系(小球B的加速度為0，為慣性參考系)，小球A(C)相對于小球B的速度均為所以，此時繩中拉力大小為

[例11]如圖所示，質(zhì)量m_A為4.0kg的木板A放在水平面C上，木板與水平面間的動摩擦因數(shù)μ為0.24，木板右端放著質(zhì)量m_B為1.0kg的小物塊B(視為質(zhì)點)，它們均處于靜止?fàn)顟B(tài)。木塊突然受到水平向右的12N·s的瞬時沖量I作用開始運動，當(dāng)小物塊滑離木板時，木板的動能E_kA為8.0J，小物塊的動能E_kB為0.50J，重力加速度取10m/s²，求：

(1)瞬時沖量作用結(jié)束時木板的速度v₀；

(2)木板的長度L。

解：(1)設(shè)水平向右為正方向，有

I=m_Av₀

代入數(shù)據(jù)解得　 v₀=3.0m/s

(2)設(shè)A對B、B對A、C對A的滑動摩擦力的大小分別為F_AB、F_BA和F_CA，B在A上滑行的時間為t，B離開A時A和B的速度分別為v_A和v_B，有

2．摩擦力做功的過程能量轉(zhuǎn)化的情況

(1)靜摩擦力做功的特點

�、凫o摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功還可能不做功．

　②在靜摩擦力做功的過程中，只有機械能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體(靜摩擦力起著傳送機械能的作用)，而沒有機械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量．

�、巯嗷ツΣ恋南到y(tǒng)，一對靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零．

(2)滑動摩擦力做功的特點：

�、倩瑒幽Σ亮�可以做正功，也可以對物體做負(fù)功，還可以不做功(如相對運動的兩物體之一對地面靜止，則滑動摩擦力對該物不做功)．

�、谠谙嗷ツΣ恋奈矬w系統(tǒng)中，一對相互作用的滑動摩擦力，對物體系統(tǒng)所做總功的多少與路徑有關(guān)，其值是負(fù)值，等于摩擦力與相對路程的積，即W_f=f_滑·S_相對

　表示物體系統(tǒng)損失機械能克服了摩擦力做功，ΔE_損= f_滑·S_相對=Q(摩擦生熱)．

�、垡粚�滑動摩擦力做功的過程，能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的情況：一是相互摩擦的物體通過摩擦力做功將部分機械能轉(zhuǎn)移另一個物體上，二是部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機械能的損失量．

[例4]水平傳送帶以速度V勻速傳動，一質(zhì)量為m的小木塊A由靜止輕放在傳送帶上，若小木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，如圖所示，在小木塊與傳送帶相對靜止時，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量為

　　 A．mv²　 B．2mv²　　 C．¼ mv²　 D．½ mv²

　　 分析：小物塊剛放在帶子上時處于靜止?fàn)顟B(tài)，與帶子有相對滑動，受向前的滑動摩擦力，使物塊加速，最終與帶子速度相同均為V．

　　 由于題目要求出轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量，必須求出滑動摩擦力對系統(tǒng)做的總功，再由ΔE= f_滑·S_相對求解

[解析]物塊所受的滑動摩擦力為：　 f＝μmg，

　　 物塊加速度a=f/m=μg．

　　 加速至v的時間　　　 t＝v/a=v/μg．

　　 物塊對地面運動的位移　　　 Sa=½vt=v²/2μg．

　　 這段時間內(nèi)帶向前位移　　　 S_帶=Vt＝v²/μg

　　 則物塊相對于帶向后滑動路程

　　　 s_相對=s_帶-s_A= v²/2μg

　　 根據(jù)能量守恒定律

　　 ΔE內(nèi)＝f·s_相對=μmg·v²/2μg=½m v²

點評：進(jìn)一步分析，在題設(shè)過程中，傳送帶克服摩擦力的功 W＝f·S_帶＝μmg·v²/μg=m v²，只有一部分傳給了物塊使其動能增加為½m v²，另一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以此題也可以這樣求解．ΔE_內(nèi)＝w一½mv²＝mv²一½mv²=½mv²

　　 通過解答此題一定要理解“摩擦生熱”指的是滑動摩擦“生熱，在相對滑動的過程中，通過摩擦力對系統(tǒng)做功來求解必須求出摩擦力在相對路程上的功

[例5]如圖5-20所示，木塊A放在木塊B上左端，用力F將A拉至B的右端，第次將B固定在地面上，F(xiàn)做功為W₁，生熱為Q₁；第二次讓B可以在光滑地面上自由滑動，這次F做的功為W₂，生熱為Q₂，則應(yīng)有　 　

A． W₁＜W₂， Q₁= Q₂　　　　　　 B． W₁= W₂， Q₁＝Q₂

　　 C． W₁＜W₂， Q₁＜Q₂　　　　　　 D． W₁＝W₂， Q₁＜Q₂

　　 解析：設(shè)B的長度為d，則系統(tǒng)損失的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的數(shù)量Q₁＝Q₂=μm_Agd，所以 C、D都錯．

在兩種情況下用恒力F將A拉至B的右端的過程中．第二種情況下A對地的位移要大于第一種情況下A對地的位移，所以 W₂＞W(wǎng)₁，B錯

　　 答案：A

　　 能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，它只能從一種形式的能轉(zhuǎn)化為另一種形式的能，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，能的總量保持不變。

1．應(yīng)用能量守恒定律的兩條思路：

　　 (1)某種形式的能的減少量，一定等于其他形式能的增加量．

　　 (2)某物體能量的減少量，一定等于其他物體能量的增加量．

[例2]如圖所示，一輕彈簧一端系在墻上的O點，自由伸長到B點，今將一質(zhì)量m的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到A點，然后釋放，小物體能在水平面上運動到C點靜止，AC距離為S；若將小物體系在彈簧上，在A由靜止釋放，小物體將做阻尼運動到最后靜止，設(shè)小物體通過總路程為l，則下列答案中可能正確的是(　　 )

　　　 A．l=2S； B．l＝S ；C．l＝0．5S ；D．l＝0

　　 解析：若物體恰好靜止在B．則彈簧原來具有的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，應(yīng)有l(wèi)＝S．若物體最后靜止在B點的左側(cè)或右側(cè)時，彈簧仍具有一定的彈性勢能，在這種情況下，物體移動的總路程就會小于S．

　　 答案：BC

[例3]圖中，容器A、B各有一個可自由移動的輕活塞，活塞下面是水，上面是大氣．大氣壓恒定，A、B的底部由帶有閥門K的管道相連，整個裝置與外界絕熱，原先，A中水面比B中高，打開閥門，使A中的水逐漸向B中流，最后達(dá)到平衡，在這個過程中．(　 )

　　 A．大氣壓力對水做功，水的內(nèi)能增加

　　 B．水克服大氣壓力做功，水的內(nèi)能減少

　　 C．大氣壓力對水做功，水的內(nèi)能不變

　　 D．大氣壓力對水不做功，水的內(nèi)能增加

[解析]由題設(shè)條件可知，打開閥門k，由于水的重力作用·水從A流向B中，由于水與器壁間的摩擦作用，振動一段時間最后達(dá)到平衡狀態(tài)；A和B中水面靜止在同一高度上，水受到重力、器壁壓力和兩水面上大氣壓力的作用，器壁壓力與水流方向垂直，。不做功，最后A、B中水面等高。相當(dāng)于A中部分水下移到B中，重力對水做功，設(shè)A、B的橫截面積分別為S_A、S_B，兩個活塞豎直位移分別為L_A、L_B，大氣壓力對容器A中的活塞做的功為W_A=P₀S_AL_A，容器B中的活塞克服大氣壓力做的功W_B=P₀S_BL_B，因此大氣壓力通過活塞對整個水做功為零，即大氣壓力對水不做功，根據(jù)能量守恒定律，重力勢能的減少等于水的內(nèi)能的增加，所以選項D是正確答案．

　　 [評點]本題的關(guān)鍵是取整個水為研究對象，明確它的運動情況。正確分析它的受力，確定水受的力在水運動過程中做的功，應(yīng)用能的轉(zhuǎn)化和守恒定律推斷能量變化關(guān)系。

4、對繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除題目特別說明，必定有機械能損失，碰撞后兩物體粘在一起的過程中一定有機械能損失。

3、功和能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系

①合外力對物體所做的功等于物體動能的增量．　 W_合=E_k2一E_k1(動能定理)

②只有重力做功(或彈簧的彈力)做功，物體的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，物體的機械能守恒。

③重力功是重力勢能變化的量度,即W_G=－ΔE_P重＝一(E_P末一E_P初) =E_P初一E_P末

④彈力功是彈性勢能變化的量度，即：W_彈＝一△E_P彈＝一(E_P末一E_P初) =E_P初一E_P末

⑤除了重力，彈力以外的其他力做功是物體機械能變化的量度，即：W_其他=E_末一E_初

⑥一對滑動摩擦力對系統(tǒng)做總功是系統(tǒng)機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度，即：f·S_相＝Q

⑦電場力功是電勢能變化的量度，即：W_E=qU=一ΔE =-(E_末一E_初)=E_初一E_末

⑧分子力功是分子勢能變化的量度

[例1]在水平地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質(zhì)量為m，厚度為h，如將磚一塊一塊地疊，需要做多少功？

解析：這是一道非常典型變質(zhì)量與做功的題，很多同學(xué)不知怎樣列功能關(guān)系式才求出功的大小，我們先畫清楚草圖．根據(jù)功能關(guān)系可知：只要找出磚疊放起來時總增加的能量　 ΔE，就可得到W_人＝ΔE，而ΔE＝E_末－E_初=nmgnh/2－nmgh/2=n(n－1)mgh/2

　　 因此，用“功能關(guān)系”解題，關(guān)鍵是分清物理過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么能增加或減少，列出這些變化了的能量即可．

答案：n(n－1)mgh/2

2．我們在處理問題時可以從能量變化來求功，也可以從物體做功的多少來求能量的變化．不同形式的能在轉(zhuǎn)化過程中是守恒的．

1．能是物體做功的本領(lǐng)．也就是說是做功的根源．功是能量轉(zhuǎn)化的量度．究竟有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，用功來量度，二者有根本的區(qū)別，功是過程量，能是狀態(tài)量．

2、機械能守恒定律的靈活運用

[例7]如圖所示，一對雜技演員(都視為質(zhì)點)乘秋千(秋千繩處于水平位置)從A點由靜止出發(fā)繞O點下擺，當(dāng)擺到最低點B時，女演員在極短時間內(nèi)將男演員沿水平方向推出，然后自已剛好能回到高處A 。求男演員落地點C 與O 點的水平距離s。已知男演員質(zhì)量m₁，和女演員質(zhì)量m₂之比=2,秋千的質(zhì)量不計，秋千的擺長為R , C 點比O 點低5R。

解：設(shè)分離前男女演員在秋千最低點B 的速度為v₀，由機械能守恒定律

(m₁+m₂)gR=½ (m₁+m₂)v₀²

設(shè)剛分離時男演員速度的大小為v₁,方向與v₀相同；女演員速度的大小為v₂，方向與v₀相反，由動量守恒，

(m₁+m₂)v₀=m₁v₁－m₂v₂

分離后，男演員做平拋運動，設(shè)男演員從被推出到落在C點所需的

時間為t ，根據(jù)題給條件，由運動學(xué)規(guī)律4R=gt²　　 s=v₁t

根據(jù)題給條件，女演員剛好回到A點，由機械能守恒定律,m₂gR=m₂v₂²

已知m₁/m₂=2,由以上各式可得　 s=8R

[例8]如圖5 -4 -5所示，長度相同的三根輕桿構(gòu)成一個正三角形支架，在A處固定質(zhì)量為2m的小球，B處固定質(zhì)量為m的小球．支架懸掛在0點，可繞過O點并與支架所在平面相垂直的固定軸轉(zhuǎn)動．開始時OB與地面相垂直，放手后開始運動，在不計任何阻力的情況下，下列說法正確的是

　　 A. A球到達(dá)最低點時速度為零

　　 B. A球機械能減少量等于B球機械能增加量

　　 C. B球向左擺動所能達(dá)到的最高位置應(yīng)高于A球開始運動時的高度

　　 D.當(dāng)支架從左向右回擺時，A球一定能回到起始高度

解析:因A處小球質(zhì)量大，所處的位置高，圖中三角形框架處于不穩(wěn)定狀態(tài)，釋放后支架就會向左擺動．?dāng)[動過程中只有小球受的重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，選項B正確，D選項也正確.A球到達(dá)最低點時，若設(shè)支架邊長是L. A球下落的高度便是L/2，有2mg·(L/2)的重力勢能轉(zhuǎn)化為支架的動能，因而此時A球速度不為零，選項A錯．當(dāng)A球到達(dá)最低點時有向左運動的速度，還要繼續(xù)左擺，B球仍要繼續(xù)上升，因此B球能達(dá)到的最高位置比A球的最高位置要高，C選項也正確．

試題展示

　　　　　　 功能問題的綜合應(yīng)用

知識簡析　 一、功能關(guān)系

　　 機械能守恒定律反映的是物體初、末狀態(tài)的機械能間關(guān)系，且守恒是有條件的，而動能定理揭示的是物體動能的變化跟引起這種變化的合外力的功間關(guān)系，既關(guān)心初末狀態(tài)的動能，也必須認(rèn)真分析對應(yīng)這兩個狀態(tài)間經(jīng)歷的過程中做功情況．

規(guī)律方法　　 1、單個物體在變速運動中的機械能守恒問題

[例6]從某高處平拋一個物體，物體落地時速度方向與水平方向夾角為θ，取地面處重力勢能為零，則物體落下高度與水平位移之比為　　　　　 ．拋出時動能與重力勢能之比為　　　　　　　　 ．

解析：設(shè)平拋運動的時間為 t，則落地時，　　 gt=v₀tanθ即 gt²＝v₀ttanθ

　　 所以 2h＝stanθ所以h/s=tanθ/2

　　 由于落地的速度v=v₀/cosθ　　 又因為½m v₀²十mgh=½mv²

　　 所以mgh=½m v₀²/cos²θ－½mv₀²　　 所以½mv₀²/mgh=cot²θ

　[例7]如圖所示，一個光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接，其中圖軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R，B為最低點，D為最高點．一個質(zhì)量為m的小球以初速度v₀沿AB運動，剛好能通過最高點D，則(　　　　　 )

　 A．小球質(zhì)量越大，所需初速度v₀越大

　 B．圓軌道半徑越大，所需初速度v₀越大

　 C．初速度v₀與小球質(zhì)量m、軌道半徑R無關(guān)

　 D。小球質(zhì)量m和軌道半徑R同時增大，有可能不用增大初速度v₀

解析：球通過最高點的最小速度為v，有mg=mv²/R，v=

這是剛好通過最高點的條件，根據(jù)機械能守恒，在最低點的速度v₀應(yīng)滿足

　　 ½m v₀²=mg2R+½mv²，v₀=　　 答案：B

2、系統(tǒng)機械能守恒問題

[例8]如圖,斜面與半徑R=2.5m的豎直半圓組成光滑軌道,一個小球從A點斜向上拋,并在半圓最高點D水平進(jìn)入軌道,然后沿斜面向上,最大高度達(dá)到h=10m,求小球拋出的速度和位置.

解析:小球從A到D的逆運動為平拋運動,由機械能守恒,平拋初速度v_D為mgh-mg2R=½mv_D²;

所以A到D的水平距離為

由機械能守恒得A點的速度v₀為mgh=½mv₀²;

由于平拋運動的水平速度不變,則V_D=V₀cosθ,所以,仰角為

[例9]如圖所示，總長為L的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過一光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時底端相齊，當(dāng)略有擾動時，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？

解析：鐵鏈的一端上升，一端下落是變質(zhì)量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學(xué)物理大綱的要求．但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化，則機械能守恒，這個題目我們用機械能守恒定律的總量不變表達(dá)式E₂=E_l，和增量表達(dá)式ΔE_P=一ΔE_K分別給出解答，以利于同學(xué)分析比較掌握其各自的特點．

(1)設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)量為P，且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面，則初態(tài)E₁=0

滑離滑輪時為終態(tài)，重心離參考面距離L/4，E_P/=－PLgL/4

E_k2=½Lv²即終態(tài)E₂=－PLgL/4+½PLv²

由機械能守恒定律得E₂= E₁有　　 －PLgL/4+½PLv²=0，所以v=

(2)利用ΔE_P=－ΔE_K，求解:初態(tài)至終態(tài)重力勢能減少，重心下降L/4，重力勢能減少－ΔE_P= PLgL/4，動能增量ΔE_K=½PLv²，所以v=

　　 點評(1)對繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發(fā)生形變，其重心位置對物體來說，不是固定不變的，能否確定其重心的位里則是解決這類問題的關(guān)鍵，順便指出的是均勻質(zhì)量分布的規(guī)則物體常以重心的位置來確定物體的重力勢能．此題初態(tài)的重心位置不在滑輪的頂點，由于滑輪很小，可視作對折來求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢能后求出代數(shù)和作為總的重力勢能．至于零勢能參考面可任意選取，但以系統(tǒng)初末態(tài)重力勢能便于表示為宜．

　　 (2)此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時重力勢能減少，等效為一半鐵鏈至另一半下端時重力勢能的減少，然后利用ΔE_P=－ΔE_K求解，留給同學(xué)們思考．

[例10]一根細(xì)繩不可伸長，通過定滑輪，兩端系有質(zhì)量為M和m的小球，且M=2m，開始時用手握住M，使M與離地高度均為h并處于靜止?fàn)顟B(tài)．求：(1)當(dāng)M由靜止釋放下落h高時的速度．(2)設(shè)M落地即靜止運動，求m離地的最大高度。(h遠(yuǎn)小于半繩長，繩與滑輪質(zhì)量及各種摩擦均不計)

解：在M落地之前，系統(tǒng)機械能守恒(M－m)gh=½(M+m)v²,

M落地之后，m做豎直上拋運動，機械能守恒．有： ½mv²=mgh^/;h^/=h/3

離地的最大高度為：H=2h+h^/=7h/3

試題展示

　　　　　　 機械能守恒定律的應(yīng)用

知識簡析一、應(yīng)用機械能守恒定律解題的基本步驟

　　 (1)根據(jù)題意選取研究對象(物體或系統(tǒng))．

　　 (2)明確研究對象的運動過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒．

　　 (3)恰當(dāng)?shù)剡x取零勢面，確定研究對象在過程中的始態(tài)和末態(tài)的機械能．

　　 (4)根據(jù)機械能守恒定律的不同表達(dá)式列式方程，若選用了增(減)量表達(dá)式，(3)就應(yīng)成為確定過程中，動能、勢能在過程中的增減量或各部分機械能在過程中的增減量來列方程進(jìn)行求解．

[例1]如圖5一66所示一質(zhì)量為m的小球，在B點從靜止開始沿半球形容器內(nèi)壁無摩擦地滑下，B點與容器底部A點的高度差為h，容器質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R．求：

(1)當(dāng)容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A時，容器內(nèi)壁對小球的作用力大�。�

(2)當(dāng)容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A時，小球相對容器的速度大小．

　　 解析：(1)m下滑只有重力做功，機械能守恒mgh=½mv²

　　 達(dá)底端A，根據(jù)牛頓第二定律T－mg=mv²/R所以T=mg+2mgh/R=mg(1+2h/R)

(2若容器在光滑水平桌面上，選m和M為研究對象，系統(tǒng)機械能守恒，水平方向上動量守恒

　　 mgh=½mv²+½Mu₁²，0=mv十Mu₁　　 所以u₁=－mv/M

　 代入得mgh＝½mv²，所以v=，小球相對容器的速度大小為v^/＝v-u₁＝v十mv/M

　　 所以v^/=

　　 答案：(1)mg(1+2h/R)，(2)

規(guī)律方法　 1、機械能守恒定律與圓周運動結(jié)合

物體在繩、桿、軌道約束的情況下在豎直平面內(nèi)做圓周運動，往往伴隨著動能，勢能的相互轉(zhuǎn)化，若機械能守恒，即可根據(jù)機械能守恒去求解物體在運動中經(jīng)過某位里時的速度，再結(jié)合圓周運動、牛頓定律可求解相關(guān)的運動學(xué)、動力學(xué)的量．

[例2]如圖1所示．一根長L的細(xì)繩，固定在O點，繩另一端系一條質(zhì)量為m的小球．起初將小球拉至水平于A點．求(1)小球從A點由靜止釋放后到達(dá)最低點C時的速度．(2)小球擺到最低點時細(xì)繩的拉力。

解：(1)由機械能守恒有：mgl=½mv_C²;

(2) 在最低點，由向心力公式有T－mg=mv²/l;T=3mg;

[例3]在上例中，將小球自水平向下移，使細(xì)繩與水平方向成θ=30⁰角，如圖2所示．求小球從A點由靜止釋放后到達(dá)最低點C時細(xì)繩的拉力．

解：

[例4]如圖，長為L的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在O點，在O點的正下方某處P點有一釘子，把線拉成水平，由靜止釋放小球，使線碰到釘子后恰能在豎直面內(nèi)做圓周運動，求P點的位置

解析： 設(shè)繩碰到釘子后恰能繞P點做圓周運動的半徑為r，運動到最高點的速率為V，由機械能守恒定律得：

在最高點，由向心力公式有：,,

[例5]如圖5-69所示，長為l不可伸長的細(xì)繩一端系于O點，一端系一質(zhì)量為m的物體，物體自與水平夾角30⁰(繩拉直)由靜止釋放，問物體到達(dá)O點正下方處的動能是多少？

　　 錯解：由機械能守恒定律：mg1·5l=½mv²，　　 所以最低點動能為1．5mgl

　　 分析：小球運動過程是：先由A點自由下落至B．自B點做圓周運動，就在B處繩使其速度改變的瞬間小球的動能減少，下面我們通過運算來說明這個問題．

　　 正確解法： v_B=，其方向豎直向下，將該速度分解如圖5一70所示　　 v₂＝vcos30⁰=cos30⁰　

　　 由B至C的過程中機械能守恒　 ½mv十mg0.5l=½mv

　 由此得½mv=5mgl/4

答案：5mgl/4

　　 點評：通過例5、例6兩題，人們會有這種想法：為什么例 5中在速度改變瞬間(B點)有能量損失，而例 6中就沒有能量損失，這其中原因是什么呢？仔細(xì)考慮可知：例6中繩的作用力與速度垂直，所以只改變了速度的方向而沒有改變速度的大小，而例5中雖然速度大小發(fā)生了變化(v₂＜v_B)．由動量定理可知，沿半徑方向繩的拉力T產(chǎn)生的沖量使沿繩方向的動量發(fā)生了變化，即TΔt＝mv₁，因此該情況就有能量損失，也就不可用機械能守恒定律．

　[例6]如圖所示，在一根長為L的輕桿上的B點和末端C各固定一個質(zhì)量為m的小球，桿可以在豎直面上繞定點A轉(zhuǎn)動，BC=L/3,現(xiàn)將桿拉到水平位置從靜止釋放，求末端小球C擺到最低點時速度的大小和這一過程中BC端對C球所做的功。(桿的質(zhì)量和摩擦不計)

解析：B、C兩球系統(tǒng)在下擺的過程中只有重力做功，系統(tǒng)機械能守恒。

;　 由于B、C角速度相同，

解得：

對于C球,由動能定理得解得桿BC段對C球做功

動量守恒是矢量守恒，守恒條件是從力的角度，即不受外力或外力的和為零。機械能守恒是標(biāo)量守恒，守恒條件是從功的角度，即除重力、彈力做功外其他力不做功。確定動量是否守恒應(yīng)分析外力的和是否為零，確定系統(tǒng)機械能是否守恒應(yīng)分析外力和內(nèi)力做功，看是否只有重力、系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。還應(yīng)注意，外力的和為零和外力不做功是兩個不同的概念。所以，系統(tǒng)機械能守恒時動量不一定守恒；動量守恒時機械能也不一定守恒。

[例4]如圖所示裝置，木塊B與水平面的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短．現(xiàn)將子彈、木塊和彈簧合在一起作為研究對象(系統(tǒng))，則此系統(tǒng)在子彈射入木塊到彈簧壓縮至最短的整個過程中(　　　 )

　　 A．動量守恒、機械能守恒　 　　B．動量不守恒，機械能不守恒

　　 C．動量守恒、機械能不守恒　　 D．動量不守恒、機械能守恒

　　 解析：在力學(xué)中，給定一個系統(tǒng)后，這個系統(tǒng)經(jīng)某一過程兵動量和機械能是否守恒，要看是否滿足動量守恒和機械能守恒條件．在這個過程中，只要系統(tǒng)不受外力作用或合外力為零(不管系統(tǒng)內(nèi)部相互作用力如何)動量必然守恒．但在子彈、木塊、彈簧這個系統(tǒng)中，由于彈簧的壓縮，墻對彈簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系統(tǒng)動量不守恒，若選取子彈，木塊為系統(tǒng)，在子彈射入木塊過程中，因t很短，彈簧還來不及壓縮，或認(rèn)為內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力(彈力)，系統(tǒng)動量守恒．在這個過程中，外力　 F、N、 mg不做功．系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，子彈打入木塊的過程中，有摩擦力做功，有機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化．因此機械能不守恒(若取子彈打入B后，A、B一起壓縮彈簧的過程，系統(tǒng)只有彈力做功，機械能守恒)．答案：B

　　 由上述分析可知，判定系統(tǒng)動量，機械能是否守恒的關(guān)鍵是明確守恒條件和確定哪個過程．　　

[例5]兩個完全相同的質(zhì)量均為m的沿塊A和B，放在光滑水平面上，滑塊A與輕彈簧相連，彈簧另一端固定在墻上，當(dāng)滑塊B以v₀的初速度向滑塊A運動時，如圖所示，碰A后不再分開，下述正確的是(　　　 )

　 A．彈簧最大彈性勢能為½mv₀²　 B．彈簧最大彈性勢能為¼mv₀²

　 C．兩滑塊相碰以及以后一起運動系統(tǒng)機械能守恒　　

D．兩滑塊相碰以及以后一起運動中，系統(tǒng)動量守恒

解析：兩滑決的運動應(yīng)分兩階段，第一階段兩滑決相碰，由于碰后兩滑塊一起運動，有部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．機械能不守恒，但動量守恒．因此有：　　 mv₀=(m十m)v　　 所以v=½v₀

第二階段，兩滑塊一起在彈簧力作用下來回振動，此時只有彈簧力做功，機械能守恒．但在此過程系統(tǒng)外力沖量不為零，系統(tǒng)動量不守恒，因此有：　　 E_P+½(m+m)v₂^/2=½(m+m)v²

　　 所以彈性勢能最大為v^/₂＝0時，所以E_P =¼mv．　　 答案：B