(本小題滿分14分)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.

(1) 若sin＝2cos A，求A的值；

(2) 若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求證：HG∥平面ABC；

(2) 請(qǐng)?jiān)诿鍭BD內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

(本小題滿分14分)如圖，△ABC為一個(gè)等腰三角形形狀的空地，腰CA的長(zhǎng)為3(百米)，底AB的長(zhǎng)為4(百米)．現(xiàn)決定在該空地內(nèi)筑一條筆直的小路EF(寬度不計(jì))，將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長(zhǎng)相等、面積分別為S₁和S₂.

(1) 若小路一端E為AC的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長(zhǎng)度；

(2) 求的最小值．

(本小題滿分16分)已知橢圓中心為，右頂點(diǎn)為，過(guò)定點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；

（2）若，直線的斜率為，求證：；

（3）在軸上，是否存在一點(diǎn)，使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝是定義在R上的奇函數(shù)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503512729687978/SYS201205250353498437943046_ST.files/image002.png">.

(1) 試求a、b的值；

(2) 函數(shù)y＝g(x)(x∈R)滿足：

條件1： 當(dāng)x∈[0,3)時(shí)，g(x)＝f(x)；條件2: g(x＋3)＝g(x)lnm(m≠1)．

① 求函數(shù)g(x)在x∈[3,9)上的解析式；

② 若函數(shù)g(x)在x∈[0，＋∞)上的值域是閉區(qū)間，試探求m的取值范圍，并說(shuō)明理由．

（本題滿分16分）

對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意的（）都有成立，那么就把這樣一類(lèi)數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期.例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列.

（1）設(shè)數(shù)列滿足（），（不同時(shí)為0），求證：數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，并求數(shù)列的前2012項(xiàng)的和；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

①若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

②若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)數(shù)列滿足（），，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由.

（本題滿分10分）

已知二階矩陣M有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1,2）變換成（-2,4）。

（1）求矩陣M及其矩陣M的另一個(gè)特征值；

（2）求直線在矩陣M的作用下的直線的方程。

（本題滿分10分）曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），M是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且M是線段OP的中點(diǎn)，P點(diǎn)的軌跡為曲線，直線l的方程為，直線l與曲線交于A，B兩點(diǎn)。

（1）求曲線的普通方程；

（2）求線段AB的長(zhǎng)。

（本題滿分10分）拋擲A,B,C三枚質(zhì)地不均勻的紀(jì)念幣，它們正面向上的概率如下表所示；

將這三枚紀(jì)念幣同時(shí)拋擲一次，設(shè)表示出現(xiàn)正面向上的紀(jì)念幣的個(gè)數(shù)。

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）在概率中，若的值最大，求a的最大值。

（本題滿分10分）已知。

（1）若，求的展開(kāi)式中的系數(shù)；

（2）證明：。