1．已知全集，集合，，則集合   

A．                      B．                    C．                D．

2．“”是“”的

A．充分不必要條件                                        B．必要不充分條件

C．充要條件                                                  D．既不充分也不必要條件

3．在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作直線的垂線，則直線與平面的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件

A．

B．

C．

D．

4．如右圖，一個空間幾何體的主(正)視圖、側(cè)(左)視圖都是周長為8、一個內(nèi)角為60°的菱形及其一條對角線，俯視圖是圓及其圓心，那么這個幾何體的表面積為

A．                                                           B．

C．                                                            D．

5．已知離心率為的曲線，其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則的值為

A．                         B．                    C．                          D．

6．若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又=0，則不等式的解集為

A．                                         B．

C．                                      D．

7．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項(xiàng)和，則

A．                                                     B．

C．                                                     D．

8．已知直線、與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為、，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為、，則直線與

A．相交，且交點(diǎn)在第一象限

B．相交，且交點(diǎn)在第二象限

C．相交，且交點(diǎn)在第四象限

D．相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

9．在右程序框圖中，當(dāng)N（n>1）時，函數(shù)表示函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若輸入函數(shù)，則輸出的函數(shù)可化為

A．                                           B．

C．                                            D．

10．某賓館有N間標(biāo)準(zhǔn)相同的客房，客房的定價將影響入住率．經(jīng)調(diào)查分析，得出每間客房的定價與每天的入住率的大致關(guān)系如下表：

每間客房的定價

220元

200元

180元

160元

每天的住房率

50ㄇ

60ㄇ

70ㄇ

75ㄇ

對每間客房，若有客住，則成本為80元；若空閑，則成本為40元．要使此賓館每天的住房利潤最高，則每間客房的定價大致應(yīng)為

A．220元                      B．200元                C．180元                 D．160元

（一）必做題：第11、12、13題為必做題（第13題前一空2分，后一空3分），每道試題考生都必須做答

11．已知向量，向量與方向相反，且，則實(shí)數(shù)        ．

12．200輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)地區(qū)，時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速不低于60km/h的汽車數(shù)量為        輛．

13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和是，若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：

則     ，若存在正整數(shù)，使，，則        ．

（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算第一題的得分．

14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知點(diǎn)P是曲線為參數(shù)，上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若直線OP的傾斜角為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為         ．

15．（幾何證明選講選做題）如右圖，、是兩圓的交點(diǎn)，是小圓的直徑，和分別是和的延長線與大圓的交點(diǎn)，已知，且，則=        ．

16．（本小題滿分12分）

已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為．

（Ⅰ）設(shè)集合，從集合中隨機(jī)取一個數(shù)作為，從集合中隨機(jī)取一個數(shù)作為，求復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的概率；

（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)落在不等式組：所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率．

17．（本小題滿分12分）

如圖，已知點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限_，且，記．學(xué)科網(wǎng)

（Ⅰ）求的值；學(xué)科網(wǎng)

（Ⅱ）若學(xué)科，求的面積．

18．（本小題滿分14分）

在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，，為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．

19．（本題滿分14分）

已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過原點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．

20．（本題滿分14分）

已知等比數(shù)列的公比，且與的一等比中項(xiàng)為，與的等差中項(xiàng)為6．

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，請比較與的大�。�

（Ⅲ）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，按原順序成等差數(shù)列？若存在，則求出這三項(xiàng)；若不存在，則加以證明．

21．（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若不過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

2009年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文科）答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 B

 A

C

B

C

B

D

D

C

C

11． . 12．76.  13． ， ． 14．．    15．.

16．（本小題滿分12分）

已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為.

（Ⅰ）設(shè)集合，從集合中隨機(jī)取一個數(shù)作為，從集合

 中隨機(jī)取一個數(shù)作為,求復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的概率；

（Ⅱ）設(shè),求點(diǎn)落在不等式組：所表示的平面區(qū)內(nèi)的概率.

解：(1)記 “復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”為事件

∵組成復(fù)數(shù)的所有情況共有12個：，，

，，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型. ……2分

其中事件包含的基本事件共2個: ………4分

∴所求事件的概率為………………6分

（2）依條件可知,點(diǎn)均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi),

    屬于幾何概型. 該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形圍成的區(qū)域, 面積為

   ……8分

所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?sub>,其圖形如下圖中的三角    第16題圖

形(陰影部分)                                                        

又直線與軸、軸的交點(diǎn)分別為,

所以三角形的面積為……10分

∴所求事件的概率為………………12分

17．（本小題滿分12分）

如圖, 已知點(diǎn)點(diǎn)在第二象限_，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記．學(xué)科網(wǎng)

（Ⅰ）求的值；學(xué)科網(wǎng)

（Ⅱ）若學(xué)科,求的面積．

學(xué)科

解：(1) 點(diǎn)的坐標(biāo)為，

   ………………3分                      

     ……………6分

 (2)（解法一）在中， ，

   ，                                  第17題圖

   ，

 ………10分

的面積        ………………12分

（解法二）設(shè)，由，得

，                      ………8分

解得：，或       

又點(diǎn)在第二象限，故.             ………10分

的面積             ………12分

18．（本小題滿分14分）

  在直三棱柱中， 平面，其垂足落在直線上.

(Ⅰ)求證：;

  (Ⅱ)若，,為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

（Ⅰ）證明：三棱柱 為直三棱柱，

平面，

又平面，

 ------------------------------------------------------2分

平面，且平面，                        

.                                                     

又  平面,平面,，

平面，----------------------------5分                          第18題圖

又平面，

 -----------------------------------7分

（2）在直三棱柱 中，.                      

平面，其垂足落在直線上,

 .

 在中，，，,

在中，  -------------------------------------------------------------9分

由（1）知平面，平面,從而      

為的中點(diǎn)，-----------------------11分

---------------------14分

19.（本題滿分14分）

已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過原點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的圖像在處的切線方程;

(Ⅱ)若存在,使得,求的最大值；

(Ⅲ)當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

解: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 當(dāng)時, ,，,

所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，

所以的最大值為.                                            --------------------9分

極大值

極小值

 (Ⅲ) 當(dāng)時，的變化情況如下表：

-

---------11分

的極大值，的極小值

又，.

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點(diǎn)，

故函數(shù)共有三個零點(diǎn)。--------------------14分

注：①證明的極小值也可這樣進(jìn)行:

設(shè)，則

當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,從而的極小值.

②證明函數(shù)共有三個零點(diǎn)。也可這樣進(jìn)行:

的極大值，的極小值,

當(dāng) 無限減小時，無限趨于 當(dāng) 無限增大時，無限趨于

    故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點(diǎn)，

故函數(shù)共有三個零點(diǎn)。--------------------14分

20．（本題滿分14分）

已知等比數(shù)列的公比,且與的一等比中項(xiàng)為,與的等差中項(xiàng)為.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,,請比較與的大小；

（Ⅲ）數(shù)列中是否存在三項(xiàng),按原順序成等差數(shù)列?若存在，則求出這三項(xiàng)；若不存在，則加以證明.

解: （I）由題意得,解得或--------------------2分

由公比,可得.--------------------3分

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為--------------------5分

（Ⅱ）,--------------------6分

，，

.--------------------8分

當(dāng)或?yàn)檎�偶�?shù)時, --------------------9分

當(dāng)正奇數(shù)且時, ---------10分

（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列, ---------11分

則,即,---------12分

由知為奇數(shù), 為偶數(shù),從而某奇數(shù)某偶數(shù), 產(chǎn)生矛盾. --------13分

所以數(shù)列中不存在三項(xiàng),按原順序成等差數(shù)列. --------14分

21．（本小題滿分14分）

已知橢圓的上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線與圓

相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)是定點(diǎn)，斜率為且過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若是與無關(guān)的值，求點(diǎn)、的坐標(biāo).

解: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ，

圓的圓心為,半徑. --------------------1分

由,得直線,

即,--------------------2分

由直線與圓相切,得,

或(舍去). -------------------4分                              第21題圖

當(dāng)時, ,  故橢圓的方程為-------------------5分

（Ⅱ）設(shè),直線,代入橢圓的方程并整理得: ,   -------6分

設(shè)、,則是上述關(guān)于的方程兩個不相等的實(shí)數(shù)解，

   -------8分

（Ⅱ）若不過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).                         

解: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ，

圓的圓心為,半徑. --------------------1分

由,得直線,即,--------------------2分

由直線與圓相切,得,

或(舍去). -------------------4分

當(dāng)時, ,  故橢圓的方程為-------------------5分

（Ⅱ）(解法一)由知,從而直線與坐標(biāo)軸不垂直, ------------------6分

由可設(shè)直線的方程為，直線的方程為. ------------------7分

將代入橢圓的方程并整理得: ,

解得或,因此的坐標(biāo)為,即---------9分

將上式中的換成,得.------------------10分

直線的方程為------------------11分

化簡得直線的方程為，------------------13分

因此直線過定點(diǎn).------------------14分

 (解法二)若直線存在斜率，則可設(shè)直線的方程為：， -------1分

代入橢圓的方程并整理得: ,   -------6分

由與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則是上述關(guān)于的方程兩個不相等的實(shí)數(shù)解，從而

   -------8分

由得，

整理得： 由知.

此時, 因此直線過定點(diǎn).-------12分

若直線不存在斜率，則可設(shè)直線的方程為：，

將代入橢圓的方程并整理得: ,

當(dāng)時, ,直線與橢圓不相交于兩點(diǎn)，這與直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)產(chǎn)生矛盾!

當(dāng)時, 直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是關(guān)于的方程的兩個不相等實(shí)數(shù)解，從而

但,這與產(chǎn)生矛盾! ------13分

因此直線過定點(diǎn).-------14分

注：對直線不存在斜率的情形，可不做證明.