例1 解關(guān)于x的不等式　

解：原不等式等價于　 　即 　

∴

若a>1 ，

若0<a<1 ，

例2 解關(guān)于x的不等式

解：原不等式可化為，即

當m>1時， 　　　∴

當m=1時，　 　　∴xÎφ

當0<m<1時， 　　　∴

當m≤0時， 　x<0

例3 解關(guān)于x的不等式

解：原不等式等價于

當即時，　

∴

當即時，　 　　∴x¹-6

當即時，　　 xÎR

例4　 解關(guān)于x的不等式　

解：當即qÎ(0,)時， 　　∴x>2或x<1

當即q=時，　 xÎφ

當即qÎ(,)時， 　　∴1<x<2

例5 　滿足的x的集合為A；滿足的x的集合為B

1° 若AÌB　 求a的取值范圍；　 　　　

2° 若AÊB　 求a的取值范圍； 　　

3° 若A∩B為僅含一個元素的集合，求a的值

解：A=[1,2] ， B={x|(x-a)(x-1)≤0}

當a≤1時，　 B=[a,1]　　　　　 當a>1時 B=[1,a]

當a>2時，　 AÌB

當1≤a≤2時，　 AÊB

當a≤1時，　 A∩B僅含一個元素

例6 方程有相異兩實根，求a的取值范圍

解：原不等式可化為　 　

令 　則，設　　

又∵a>0 ∴

　筆者認為，高考英語作文的主題越來越接近生活這是一個必然的趨勢，這種趨勢的目的是使考生將英語學習融入到生活中去，而不僅僅是脫離生活的、機械的學習，這也是應對中國學生在英語方面突出的“高分低能”的缺點的有效手段之一。

　趨勢2：英語作文的“語文化”

　從上文中可以看出，高考英語作文這種從生活切入的主題似乎大大降低了其難度。但事實真的是這樣嗎？筆者對此持保留意見。雖然此類描述性的題目可以讓學生更“有話可寫”，可是我們必須注意到上述幾乎所有的題目都有兩個要求，描寫只是其中的第一個要求，在我們看來那只是一個引子，僅僅是幾句話帶過的“述題”部分。而重頭戲是后面的第二個要求，那才是評判作文質(zhì)量的關(guān)鍵所在。還是以07年的高考為例，它要求在描寫送出的禮物和所送的對象之后，還要寫出該禮物對他(她)可能產(chǎn)生的影響或帶來的變化。這就要求考生所描寫的禮物對于接受禮物的人是有意義的，自然地，如果需要得到一個較高的分數(shù)，就要求考生在描寫的背后揭示出具有一定深意的主題。再來看05年的高考，這次是要求以“天生我材必有用”為題。很明顯，文章要求考生描寫自己曾經(jīng)做過的一件事情，從而證明人各有所長，無論才能大小都能成為有用的人。這就要求考生在選題上要花上一番心思，文章所描寫的事情必須為文章的主題服務。盡量是一件小事，但是從這件小事上能夠有“以小見大”的效果。所以說，雖然文章的主題和生活都是密切相關(guān)的，而且文章的素材也都是來源于生活的，可是考生在選題和文章的組織結(jié)構(gòu)上必須多花些心思，這是不是同我們在處理高考中語文的作文題時的情形一樣呢？

　趨勢3：及格容易，高分難

　以前的英語作文，如果達到了要求的字數(shù)、基本無語法錯誤、思路清晰、表達及過渡流暢，一般達到這些要求，就能進入至少“中上”的檔次。但是，描述性的文章不同于考生們平時常常接觸到的議論文，它沒有能夠套用的固定模式，取而代之的是它對考生在文章結(jié)構(gòu)的組織上提出更高的要求。因為一篇高考作文應該控制在120－150字之間，那么考生如何合理地安排呢？如果描述部分過多而忽略了中心的挖掘的話，那只能算是一篇“沒有靈魂”的文章。因此，這里就要考驗考生的概括和表達能力了，如何既做到“言簡意賅”又能夠表達清楚到位，這顯然是比以前議論文一兩句話的“述題”更為艱巨的任務。

　另外，要想取得高分，還要求考生能夠考慮那些別人想不到的主題。因為這里的描寫可能會出現(xiàn)許許多多相近的表達，因此如果文章沒有能夠“脫穎而出”的地方，所得到的分數(shù)自然也比較普通。故要想取得高分，考生就要注重對于文章主題的挖掘，要讓閱卷的老師看到你思想的光芒，發(fā)現(xiàn)你文章的閃光點。這些都是死板的模板、千篇一律的范文和單純的描寫所不能做到的。

23．已知函數(shù)f (x)＝(x－1), 數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列(q∈R, q≠1, q≠0),

若＝f (d－1), ＝f (d+1), ＝f (q－1), ＝f (q+1),

　 (1) 求數(shù)列{}, {}的通項公式；

　 (2) 設數(shù)列{}對任意的自然數(shù)n均有

成立，求+++……+的值

　 解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d+1)＝d,

∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,

解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),

　 又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q+1)＝q,　 ＝q,

∴ ＝q,

　 ∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3

　 (2) 設＝(n∈N), 數(shù)列{}的前n項和為,

則＝＝2n, ＝＝2(n－1),　

　∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3

　 ∴+++……+

＝2+2·3+……+2·3＝＝,

2．已知等差數(shù)列{}的前n項和為，＝, 且＝,+＝21, (1) 求數(shù)列{b_n}的通項公式；(2) 求證：+++……+<2.

　 解：(1)設等差數(shù)列{}的首項為, 公差為d,則＝(+2d)·＝,

　 +＝8+13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,

　 ∴ ＝n, ＝, ＝;

　 (2) +++……+

＝2·[(1－)+(－)+……+()]<2.

1．已知, a, , …, , …構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項和為＝n, 設＝, 記{}的前n項和為, (1) 求數(shù)列{}的通項公式；(2) 證明：<1.

　 解：(1) ＝＝1, 當n≥2時, ＝－＝2n－1;

由于n＝1時符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).

　 (2) ＝,

∴ ＝,

　 兩式相減得

＝+＝+(1－)－,

　 ∴ ＝+(1－)－<1,

2.由1.得{}是等比數(shù)列　　 a=0.2 ,　　 q=

　 例3在等比數(shù)列中，，求的范圍

解：∵，∴

又∵，且，∴，

∴解之：

當時，，∴

(∵)

當時，，

∵且必須為偶數(shù)

∴，(∵)

例4 設{}, {}都是等差數(shù)列，它們的前n項和分別為, , 已知,求⑴；⑵

�、� 解法1：＝＝

＝.

⑴解法2：∵{}, {}都是等差數(shù)列

∴可設＝kn(5n+3), =kn(2n-1)

∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

∴==

⑵解：由⑴解法2，有

=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

　　　　 ∴＝k5(105-2)=240k

　　　　　 ＝k8(48-3)=232k

　　　　 ∴ =

例5設等差數(shù)列{}的前n項和為,

(1)　 如果a＝9, S＝40, 問是否存在常數(shù)c，使數(shù)列{}成等差數(shù)列；

(2)　 如果＝n－6n, 問是否存在常數(shù)c，使得＝對任意自然數(shù)n都成立

　 解：(1) 由a＝9, S＝40, 得a＝7, d＝2,

∴ ＝2n+5, ＝n²+6n, ＝

　 ∴ 當c＝9時, ＝n+3是等差數(shù)列；

　 (2) ＝對任意自然數(shù)n都成立，

等價于{}成等差數(shù)列,

由于＝n－6n

∴＝,

即使c＝9, ＝|n－3|, 也不會成等差數(shù)列，

因此不存在這樣的常數(shù)c使得＝對任意自然數(shù)n都成立

例1 在△ABC中，三邊成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，求證△ABC為正三角形

　 證：由題設，且　

∴

　　　　 ∴　 即 　從而　

∴ (獲證)

例2 從盛有鹽的質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽水2 kg的容器中倒出1 kg鹽水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg鹽水，然后再加入1 kg水，

問：1.第5次倒出的的1 kg鹽水中含鹽多少g？

2.經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少k鹽？此時加1 kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分數(shù)為多少？

解：1.每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{}，則：

　　　 a= 0.2 kg ,　 a=×0.2 kg ,　　 a= ()×0.2 kg

　　　 由此可見：= ()×0.2 kg ,　

= ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg

23. (金華卷,本題10分)

已知點P的坐標為(m，0)，在x軸上存在點Q(不與P點重合)，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在反比例函數(shù)y = 的圖像上.小明對上述問題進行了探究，發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個，且一個正方形的頂點M在第四象限，另一個正方形的頂點M₁在第二象限.

(1)如圖所示，若反比例函數(shù)解析式為y= ，P點坐標為(1， 0)，圖中已畫出一符合條件的一個正方形PQMN，請你在圖中畫出符合條件的另一個正方形PQ₁M₁N₁，并寫出點M₁的坐標；

(溫馨提示：作圖時，別忘

了用黑色字跡的鋼筆或簽字

筆描黑喔！)

M₁的坐標是　　 ▲　　　

　　　　　 　 (2) 請你通過改變P點坐標，對直線M₁ M的解析式y﹦kx+b進行探究可得 k﹦　 ▲　 ，　　 若點P的坐標為(m，0)時，則b﹦　 ▲　 ；

　　　　　　 (3) 依據(jù)(2)的規(guī)律，如果點P的坐標為(6，0)，請你求出點M₁和點M的坐標．

2.(2010年山東省濟南市)如圖,已知直線與雙曲線交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4.　　　　　　　

(1)求k的值；

(2)若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；

(3)過原點O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(P點在第一象限)，若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．

[關(guān)鍵詞]反比例函數(shù)

[答案]

(1)∵點A橫坐標為4 ，　

∴當 x = 4時，y = 2

∴ 點A的坐標為(4，2 ) …………2’　　　　　　　　　　　　　　　　

∵點A是直線與雙曲線(k>0)的交點，

∴ k = 4×2 = 8　 ………….3’

(2)解法一：

∵ 點C在雙曲線上，當y = 8時，x = 1

∴ 點C的坐標為(1，8)………..4’　　　　　　　　　　　　　　　　

過點A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON

S_矩形ONDM= 32 ， S_△ONC = 4 ， S_△CDA = 9， S_△OAM = 4　　　　　　　 　

S_△AOC= S_矩形ONDM－S_△ONC－S_△CDA－S_△OAM

= 32－4－9－4 = 15　 ………..6’　　

解法二：

過點　 C、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，

∵ 點C在雙曲線上，當y = 8時，x = 1。

∴ 點C的坐標為(1，8)　　　　　

∵ 點C、A都在雙曲線上，

∴ S_△COE = S_△AOF= 4 　

∴ S_△COE + S_梯形CEFA = S_△COA + S_{△AOF .}

∴ S_△COA = S_梯形CEFA 　

∵ S_梯形CEFA =×(2+8)×3 = 15，　

∴ S_△COA = 15　　　　　　　　　　　

(3)∵ 反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形 ，

∴ OP=OQ，OA=OB

∴ 四邊形APBQ是平行四邊形

∴ S_△POA = S_{平行四邊形APBQ} =×24 = 6

設點P的橫坐標為m(m > 0且)，

得P(m，) …………..7’

過點P、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，

∵ 點P、A在雙曲線上，∴S_△POE = S_△AOF = 4

若0＜m＜4，

∵ S_△POE + S_梯形PEFA = S_△POA + S_△AOF，

∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6

∴

解得m= 2，m= － 8(舍去)

∴ P(2，4)　　　　　 ……………8’　　　　　

若 m＞ 4，

∵ S_△AOF+ S_梯形AFEP = S_△AOP + S_△POE，

∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6

　∴，

解得m= 8，m =－2 (舍去)

∴ P(8，1)

∴ 點P的坐標是P(2，4)或P(8，1)………….9’

1. (2010年山東省濟南市)若是雙曲線上的兩點，且，則{填“>”、“=”、“<”}．

[關(guān)鍵詞]反比例函數(shù)

[答案]＜