2.分類
(1)國際人口遷移
時期 |
遷出地 |
遷入地 |
遷移特點 |
原因 |
意義 |
19世紀以前 |
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二戰(zhàn)后 |
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(2)國內(nèi)人口遷移(以我國為例)
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影響因素 |
遷移特點 |
流向地區(qū) |
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古代 |
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當代 |
新中國成立到20世紀80年代中期 |
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20世紀80年代中期以來 |
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1.概念:
15.已知函數(shù)f(x)=(m∈R,e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當x>0時,設f(x)的反函數(shù)為f-1(x),對0<p<q,試比較f(q-p)、f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大。
解:(1)當x>0,f(x)=ex-1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x)=ex-1>0;
當x≤0時,f(x)=x3+mx2,此時f′(x)=x2+2mx=x(x+2m).
①若m=0,f′(x)=x2≥0,則f(x)=x3,在(-∞,0]上單調(diào)遞增,且f(x)=x3≤0.
又f(0)=0,可知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,無極值.
②若m<0,令f′(x)=x(x+2m)>0
⇒x<0或x>-2m(舍去).
函數(shù)f(x)=x3+mx2在(-∞,0]上單調(diào)遞增,
同理,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,無極值.
③若m>0,令f′(x)=x(x+2m)>0⇒x>0或x<-2m.
函數(shù)f(x)=x3+mx2在(-∞,-2m]上單調(diào)遞增,在(-2m,0]上單調(diào)遞減.
此時函數(shù)f(x)在x=-2m處取得極大值:f(-2m)=m3+4m3=m3>0;
又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故在x=0處取得極小值:f(0)=0.
綜上可知,當m>0時,f(x)的極大值為m3,極小值為0;當m≤0時,f(x)無極值.
(2)當x>0時,設y=f(x)=ex-1⇒y+1=ex⇒x=ln(y+1).
∴f-1(x)=ln(x+1)(x>0).
(ⅰ)比較f(q-p)與f-1(q-p)的大小.
記g(x)=f(x)-f-1(x)=ex-ln(x+1)-1(x>0).
∵g′(x)=ex-在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),
∴g′(x)>g′(0)=e0-=0恒成立.
∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴g(x)>g(0)=e0-ln(0+1)-1=0.
當0<p<q時,有q-p>0,
∴g(q-p)=eq-p-ln(q-p+1)-1>0.
∴eq-p-1>ln(q-p+1),即f(q-p)>f-1(q-p).①
(ⅱ)比較f-1(q-p)與f-1(q)-f-1(p)的大。
ln(q-p+1)-[ln(q+1)-ln(p+1)]
=ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1)
=ln
=ln
=ln
=ln
=ln[+1].
∵0<p<q,∴+1>1,故ln[+1]>0.
∴l(xiāng)n(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1),
即f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p).②
∴由①②可知,當0<p<q時,有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p).
14.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),且函數(shù)f(x+1)的反函數(shù)恰為y=f-1(x+1).若f(1)=3999,求f(2010)的值.
解:∵y=f-1(x+1),
∴f(y)=f[f-1(x+1)].
∴x=f(y)-1.
∴y=f-1(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1.
∵f(x+1)的反函數(shù)為y=f-1(x+1).
∴f(x+1)=f(x)-1.
∴{f(n)}是以3999為首項,-1為公差的等差數(shù)列,
∴f(2010)=3999-(2010-1)=1990.
13.已知函數(shù)f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,3),函數(shù)y=f-1(x+a)的圖象經(jīng)過點B(4,2),試求f-1(x)的表達式.
解:由f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)得,
x-1=logb(y-a).
∵bx-1>0,則a+bx-1>a,
∴y>a,∴f-1(x)=1+logb(x-a)(x>a),
∴f-1(x+a)=1+logbx(x>0).
∵點A在f(x)的圖象上,點B在f-1(x+a)的圖象上,
∴解得
∴f-1(x)的表達式為f-1(x)=log4(x-2)+1(x>2).
12.求下列函數(shù)的反函數(shù)
(1)y=(x<-1);
(2)y=-(x≥1);
(3)y=x|x|+2x.
解:(1)y==2+,在x<-1時為減函數(shù),
存在反函數(shù),原函數(shù)值域為{y|-<y<2}.
又由y=,得x=,
故反函數(shù)為y=(-<x<2).
(2)∵x≥1,∴y=-≤0.
由y=-,得y2=x2-1,∴x2=1+y2,
∵x≥1,∴x=(y≤0).
∴f-1(x)=(x≤0).
(3)當x≥0時,y=x2+2x,即(x+1)2=y+1,
∴x=-1+(y≥0).
當x<0時,y=-x2+2x,即1-y=(x-1)2.
∴x=
∴所求反函數(shù)為
y=
11.(2009·湖北五市聯(lián)考)函數(shù)f(x)=的反函數(shù)為f-1(x),則f-1(18)=________.
答案:4
解析:設f-1(18)=m,∴f(m)=18,∴x2+2=18,得x=±4,又x≥0,∴x=4.
10.已知y=f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)存在反函數(shù),且f(x-1)=x2-2x+1,則f-1(7)=__________.
答案:
解析:設x-1=t,則x=1+t,所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)+1=t2,即f(x)=x2(x>0),設f-1(7)=a,則f(a)=a2=7,故a=.
9.(2009·成都模擬)設函數(shù)f(x)=e2(x-1),y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),若函數(shù)g(x)=則g[g(-1)]=__________.
答案:1
解析:依題意得g(-1)=-1+2=1,g[g(-1)]=g(1)=f-1(1).設f-1(1)=t,則有f(t)=1,即e2(t-1)=1,t=1,所以g[g(-1)]=1.
8.(2009·湖北八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(ex+ex-2)(x<1)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))的反函數(shù)為f-1(x),則有( )
A.f-1()<f-1() B.f-1()>f-1()
C.f-1()<f-1(2) D.f-1()>f-1(2)
答案:A
解析:∵函數(shù)f(x)=(ex+ex-2)=ex是一個單調(diào)遞增函數(shù),∴f-1(x)在(0,+∞)上也是單調(diào)遞增函數(shù).
又∵x<1,∴f(x)=ex<e=.
-2==,∵2<e<3,∴0<e-2<1,∴(e-2)2-3<0,∴<2;
-==,
∵2.7<e<2.8,∴1.2<e-<1.3,
∴(e-)2->0,∴>,∴<<2.
∴在x<1時,函數(shù)f(x)=(ex+ex-2)的值域為(0,),其中<<2,故選A.
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