15、(09全國Ⅱ卷)兩物體甲和乙在同一直線上運(yùn)動(dòng)，它們?cè)?-0.4s時(shí)間內(nèi)的v-t圖象如圖所示。若僅在兩物體之間存在相互作用，則物體甲與乙的質(zhì)量之比和圖中時(shí)間t₁分別為

A．和0.30s　　 B．3和0.30s　

C．和0.28s　　 D．3和0.28s

答案B

[解析]本題考查圖象問題.根據(jù)速度圖象的特點(diǎn)可知甲做勻加速,乙做勻減速.根據(jù)得,根據(jù)牛頓第二定律有,得,由,得t=0.3s,B正確.

(09福建卷)(2)一炮艇總質(zhì)量為M，以速度勻速行駛，從船上以相對(duì)海岸的水平速度沿前進(jìn)方向射出一質(zhì)量為m的炮彈，發(fā)射炮彈后艇的速度為，若不計(jì)水的阻力，則下列各關(guān)系式中正確的是　　　　 。(填選項(xiàng)前的編號(hào))

①　　　　　　　　　 ② 　　　�、�　　　　　　　　　　 ④

(2)動(dòng)量守恒定律必須相對(duì)于同量參考系。本題中的各個(gè)速度都是相對(duì)于地面的，不需要轉(zhuǎn)換。發(fā)射炮彈前系統(tǒng)的總動(dòng)量為Mv₀；發(fā)射炮彈后，炮彈的動(dòng)量為mv₀,船的動(dòng)量為(M-m)v′所以動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式為

正確選項(xiàng)為①

21．(09全國Ⅰ卷)質(zhì)量為M的物塊以速度V運(yùn)動(dòng)，與質(zhì)量為m的靜止物塊發(fā)生碰撞，碰撞后兩者的動(dòng)量正好相等，兩者質(zhì)量之比M/m可能為

A.2　　　　 B.3 　　　　C.4　　　　 D. 5

答案AB

[解析]本題考查動(dòng)量守恒.根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒得設(shè)碰撞后兩者的動(dòng)量都為P,則總動(dòng)量為2P,根據(jù),以及能量的關(guān)系得得,所以AB正確.

2． 人造地球衛(wèi)星

⑴宇宙速度

第一宇宙速度

，是地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是地球衛(wèi)星在近地軌道上運(yùn)行時(shí)的速度．

^由得　．

例7、1990年3月，紫金山天文臺(tái)將1965年9月20日發(fā)現(xiàn)的第2752號(hào)小行星命名為吳健雄星，其直徑為32 km，如該小行星的密度和地球相同，則其第一宇宙速度為

　　　 m／s，已知地球半徑R=6400km，地球的第一宇宙速度為8 km／s．(20m／s)

第二宇宙速度的計(jì)算

　　 如果人造衛(wèi)星進(jìn)入地面附近的軌道速度等于或大于1l.2km／s，就會(huì)脫離地球的引力，這個(gè)速度稱為第二宇宙速度．

　　 為了用初等數(shù)學(xué)方法計(jì)算第二宇宙速度，設(shè)想從地球表面至無窮遠(yuǎn)處的距離分成無數(shù)小段ab、bc、…，等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑為r₁、r₂…，如下圖所示．

由于每一小段ab、bc、cd…極小，這一小段上的引力可以認(rèn)為不變．因此把衛(wèi)星從地表a送到b時(shí)，外力克服引力做功

同理，衛(wèi)星從地表移到無窮遠(yuǎn)過程中，各小段上外力做的功分別為

…

把衛(wèi)星送至無窮遠(yuǎn)處所做的總功　　

為了掙脫地球的引力衛(wèi)星必須具有的動(dòng)能為

所以

　 　第三宇宙速度的推算

脫離太陽引力的速度稱為第三宇宙速度．因?yàn)榈厍蚶@太陽運(yùn)行的速度為v_地＝30km/s，根據(jù)推導(dǎo)第二宇宙速度得到的脫離引力束縛的速度等于在引力作用下環(huán)繞速度的倍，即

因?yàn)槿嗽焯祗w是在地球上，所以只要沿地球運(yùn)動(dòng)軌道的方向增加△v＝12.4km／s即可，即需增加動(dòng)能．所以人造天體需具有的總能量為

得第三宇宙速度

1． 萬有引力定律提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

⑴人造地球衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系

①由得　　　r越大，v越小

②由得　　　r越大，ω越小

③由得　　r越大，T越大

例4、土星外層上有一個(gè)環(huán)。為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度a與該l層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來判斷：　 ( AD )

A．若v∝R，則該層是土星的一部分；　　B．若v²∝R，則該層是土星的衛(wèi)星群

C．若v∝1／R，則該層是土星的一部分 　 D．若v²∝1／R，則該層是土星的衛(wèi)星群

⑵求天體質(zhì)量、密度

由　 　即可求得

注意天體半徑與衛(wèi)星軌跡半徑區(qū)別

⑶人造地球衛(wèi)星的離心向心問題

例5、在地球大氣層外有很多太空垃圾繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每到太陽活動(dòng)期，由于受太陽的影響，地球大氣層的厚度開始增加，從而使得部分垃圾進(jìn)入大氣層，開始做靠近地球的向心運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生這一結(jié)果的原因是　　 ( C　 )

A．由于太空垃圾受到地球引力減小而導(dǎo)致的向心運(yùn)動(dòng)

B．由于太空垃圾受到地球引力增大而導(dǎo)致的向心運(yùn)動(dòng)

C．由于太空垃圾受到空氣阻力而導(dǎo)致的向心運(yùn)動(dòng)

D．地球引力提供了太空垃圾做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故產(chǎn)生向心運(yùn)動(dòng)的結(jié)果與空氣阻力無關(guān)

例6、宇宙飛船要與軌道空間站對(duì)接，飛船為了追上軌道空間站　　 ( A )

　 A．只能從較低軌道上加速

　 B．只能從較高軌道上加速

　 C．只能從同空間站同一高度軌道上加速

　 D．無論在什么軌道上，只要加速都行

5．物體在地面上所受的引力與重力的區(qū)別和聯(lián)系

地球?qū)ξ矬w的引力是物體具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．這是因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要向心力．這個(gè)向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，ω是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這個(gè)向心力來自哪里?只能來自地球?qū)ξ矬w的引力F，它是引力F的一個(gè)分力如右圖，引力F的另一個(gè)分力才是物體的重力mg．

在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω相同，而圓周的半徑r不同，這個(gè)半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)．緯度為α處的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力 (R為地球半徑)，由公式可見，隨著緯度升高，向心力將減小，在兩極處Rcosα＝0，f＝0．作為引力的另一個(gè)分量，即重力則隨緯度升高而增大．在赤道上，物體的重力等于引力與向心力之差．即．在兩極，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，僅為10^－5rad／s數(shù)量級(jí)，所以mg與F的差別并不很大．

在不考慮地球自轉(zhuǎn)的條件下，地球表面物體的重力這是一個(gè)很有用的結(jié)論．

從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才能向地心．

同樣，根據(jù)萬有引力定律知道，在同一緯度，物體的重力和重力加速度g的數(shù)值，還隨著物體離地面高度的增加而減�。�

若不考慮地球自轉(zhuǎn)，地球表面處有，可以得出地球表面處的重力加速度．

在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為g＇，由牛頓第二定律可得：

　即

如果在h＝R處，則g＇＝g／4．在月球軌道處，由于r＝60R，所以重力加速度g＇＝ g／3600．

重力加速度隨高度增加而減小這一結(jié)論對(duì)其他星球也適用．

例3、某行星自轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為地球上的6h，在這行星上用彈簧秤測某物體的重量，在該行量赤道上稱得物重是兩極時(shí)測得讀數(shù)的90%，已知萬有引力恒量G＝6.67×10^－11N·m²／kg²，若該行星能看做球體，則它的平均密度為多少?

[解析]在兩極，由萬有引力定律得　　　 ①

在赤道　 ②

依題意mg＇=O.9mg　　 ③

由式①②③和球體積公式聯(lián)立解得

4．注意領(lǐng)會(huì)卡文迪許實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的巧妙方法．

由萬有引力定律表達(dá)式可知，，要測定引力常量G，只需測出兩物體m₁、m₂間距離r及它們間萬有引力F即可．由于一般物體間的萬有引力F非常小，很難用實(shí)驗(yàn)的方法顯示并測量出來，所以在萬有引力定律發(fā)現(xiàn)后的百余年間，一直沒有測出引力常量的準(zhǔn)確數(shù)值．

卡文迪許巧妙的扭秤實(shí)驗(yàn)通過多次“放大”的辦法解決了這一問題．圖是卡文迪許實(shí)驗(yàn)裝置的俯視圖．

首先，圖中固定兩個(gè)小球m的r形架，可使m、m’之間微小的萬有引力產(chǎn)生較大的力矩，使金屬絲產(chǎn)生一定角度的偏轉(zhuǎn)臼，這是一次“放大”效應(yīng)．

其次，為了使金屬絲的微小形變加以“放大”，卡文迪許用從1發(fā)出的光線射到平面鏡M上，在平面鏡偏轉(zhuǎn)θ角時(shí)，反射光線偏轉(zhuǎn)2θ角，可以得出光點(diǎn)在刻度尺上移動(dòng)的弧長s＝2θR，增大小平面鏡M到刻度尺的距離R，光點(diǎn)在刻度尺上移動(dòng)的弧長S就相應(yīng)增大，這又是一次“放大”效應(yīng)．由于多次巧妙“放大”，才使微小的萬有引力顯示并測量出來．除“放大法”外，物理上觀察實(shí)驗(yàn)效果的方法，還包括“轉(zhuǎn)換法”、“對(duì)比法”等．

深刻認(rèn)識(shí)卡文迪許實(shí)驗(yàn)的意義

(1)卡文迪許通過改變質(zhì)量和距離，證實(shí)了萬有引力的存在及萬有引力定律的正確性．

(2)第一次測出了引力常量，使萬有定律能進(jìn)行定量計(jì)算，顯示出真正的實(shí)用價(jià)值．

(3)標(biāo)志著力學(xué)實(shí)驗(yàn)精密程度的提高，開創(chuàng)了測量弱力的新時(shí)代．

(4)表明：任何規(guī)律的發(fā)現(xiàn)總是經(jīng)過理論上的推理和實(shí)驗(yàn)上的反復(fù)驗(yàn)證才能完成．

3．萬有引力定律的適用條件

例1、如下圖所示，在半徑R＝20cm、質(zhì)量M＝168kg的均勻銅球中，挖去一球形空穴，空穴的半徑為要，并且跟銅球相切，在銅球外有一質(zhì)量m＝1kg、體積可忽略不計(jì)的小球，這個(gè)小球位于連接銅球球心跟空穴中心的直線上，并且在空穴一邊，兩球心相距是d＝2m，試求它們之間的相互吸引力．

解： 完整的銅球跟小球m之間的相互吸引力為

這個(gè)力F是銅球M的所有質(zhì)點(diǎn)和小球m的所有質(zhì)點(diǎn)之間引力的總合力，它應(yīng)該等于被挖掉球穴后的剩余部分與半徑為婁的銅球?qū)π∏騧的吸引力　 　　F=F₁+F₂．

式中F₁是挖掉球穴后的剩余部分對(duì)m的吸引力，F(xiàn)₂是半徑為R／2的小銅球?qū)�m的吸引力。因?yàn)?sub>，

所以挖掉球穴后的剩余部分對(duì)小球的引力為F₁＝F－F₂＝2.41×10^－9N

例2、深入地球內(nèi)部時(shí)物體所受的引力

假設(shè)地球?yàn)檎�球體，各處密度均勻．計(jì)算它對(duì)球外物體的引力，可把整個(gè)質(zhì)量集中于球心．如果物體深入地球內(nèi)部，如何計(jì)算它所受的引力?

如右圖所示，設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))在地層內(nèi)離地心為r的A處．為了計(jì)算地球?qū)λ�的引力，把地球分成許多薄層．設(shè)過A點(diǎn)的對(duì)頂錐面上兩小塊體積分別為△V₁、△V₂．當(dāng)△V₁和△V₂很小時(shí)，可以近似看成圓臺(tái)．

已知圓臺(tái)的體積公式

式中R₁和R₂分別是上、下兩底面的半徑．

當(dāng)圓臺(tái)很小很薄時(shí)，且H＜＜　a，H＜＜　b時(shí)，R₁≈R₂≈R．那么V＝πHR²

根據(jù)萬有引力定律

所以，即兩小塊體積的物體對(duì)A處質(zhì)點(diǎn)的引力大小相等，且方向相反，它們的合力為零．

當(dāng)把地球分成許多薄層后，可以看到，位于A點(diǎn)以外的這一圈地層(右圖中用斜線表示)對(duì)物體的引力互相平衡，相當(dāng)于對(duì)A處物體不產(chǎn)生引力，對(duì)A處物體的引力完全由半徑為r的這部分球體產(chǎn)生．引力大小為

即與離地心的距離成正比．

當(dāng)物體位于球心時(shí)，r=0，則F_r＝O．它完全不受地球的引力．

所以，當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m的物體從球心(r＝0)逐漸移到球外時(shí)，它所受地球的引力F隨r的變化關(guān)系如右圖所示．即先隨r的增大正比例地增大；后隨r的增大，按平方反比規(guī)律減��；當(dāng)r＝R₀(地球半徑)時(shí)，引力．

2．萬有引力定律的檢驗(yàn)

牛頓通過對(duì)月球運(yùn)動(dòng)的驗(yàn)證，得出萬有引力定律，開始時(shí)還只能是一個(gè)假設(shè)，在其后的一百多年問，由于不斷被實(shí)踐所證實(shí)，才真正成為一種理論．其中，最有效的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有以下四方面．

⑴．地球形狀的預(yù)測．牛頓根據(jù)引力理論計(jì)算后斷定，地球的赤道部分應(yīng)該隆起，形狀像個(gè)橘子．而笛卡爾根據(jù)旋渦假設(shè)作出的預(yù)言，地球應(yīng)該是兩極伸長的扁球體，像個(gè)檸檬．

1735年，法國科學(xué)院派出兩個(gè)測量隊(duì)分赴亦道地區(qū)的秘魯(緯度φ＝20°)和高緯度處的拉普蘭德(φ＝66°)，分別測得兩地1°緯度之長為：赤道處是110600m，兩極處是111900m．后來，又測得法國附近緯度1°的長度和地球的扁率．大地測量基本證實(shí)了牛頓的預(yù)言，從此，這場“橘子與檸檬”之爭才得以平息．

⑵．哈雷彗星的預(yù)報(bào)．英國天文學(xué)家哈雷通過對(duì)彗星軌道的對(duì)照后認(rèn)為，1682年出現(xiàn)的大彗星與1607年、1531年出現(xiàn)的大彗星實(shí)際上是同一顆彗星，并根據(jù)萬有引力算出這個(gè)彗星的軌道，其周期是76年．哈雷預(yù)言，1758年這顆彗星將再次光臨地球．于是，預(yù)報(bào)彗星的回歸又一次作為對(duì)牛頓引力理論的嚴(yán)峻考驗(yàn)．

后來，彗星按時(shí)回歸，成為當(dāng)時(shí)破天荒的奇觀，牛頓理論又一次被得到證實(shí)．

⑶．海王星的發(fā)現(xiàn)．

⑷．萬有引力常量的測定．

由此可見，一個(gè)新的學(xué)說決不是一蹴而就的，也只有通過反復(fù)的驗(yàn)證，才能被人們所普遍接受．

1．萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的思路、方法

　　 開普勒解決了行星繞太陽在橢圓軌道上運(yùn)行的規(guī)律，但沒能揭示出行星按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因．英國物理學(xué)家牛頓(公元1642-1727)對(duì)該問題進(jìn)行了艱苦的探索，取得了重大突破．

　　 首先，牛頓論證了行星的運(yùn)行必定受到一種指向太陽的引力．

　　 其次，牛頓進(jìn)一步論證了行星沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)受到太陽的引力，與它們的距離的二次方成反比．為了在中學(xué)階段較簡便地說明推理過程，課本中是將橢圓軌道簡化為圓形軌道論證的．

　　 第三，牛頓從物體間作用的相互性出發(fā)，大膽假設(shè)并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了行星受太陽的引力亦跟太陽的質(zhì)量成正比．因此得出：太陽對(duì)行星的行力跟兩者質(zhì)量之積成正比．

最后，牛頓做了著名的“月一地”檢驗(yàn)，將引力合理推廣到宇宙中任何兩物體，使萬有引力規(guī)律賦予普遍性．

13. 如圖10所示，一個(gè)彈簧臺(tái)秤的秤盤和彈簧質(zhì)量均不計(jì)，盤內(nèi)放一個(gè)質(zhì)量的靜止物體P，彈簧的勁度系數(shù)�，F(xiàn)施加給P一個(gè)豎直向上的拉力F，使P從靜止開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)。已知在頭0.2s內(nèi)F是變力，在0.2s以后，F(xiàn)是恒力，取，求拉力F的最大值和最小值。