5．說(shuō)明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，(Ⅰ)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①奇偶； ② ；(Ⅱ)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①偶奇；②。

3．等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；

(2)在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是，　 如：，，，，……；，，，，……；

(3)在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；

(4)在等差數(shù)列中，若，，，且，則；

2．等差數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)：

(1)等差數(shù)列定義a_n+1－a_n＝d(常數(shù))(n N)，這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項(xiàng)，如a₃－a₂＝a₂－a₁＝d(常數(shù))就說(shuō){a_n}是等差數(shù)列這樣的錯(cuò)誤，判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由a_n+a_n+2＝2 a_n+1 即a_n+2－a_n+1＝a_n+1－a_n 來(lái)判斷。

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)為a_n＝a₁+(n－1)d．可整理成a_n＝a_n+(a₁－d)，當(dāng)d≠0時(shí)，a_n 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點(diǎn)的集合.

(3)對(duì)于A 是a、b 的等差中項(xiàng)，可以表示成2 A＝a+b。

(4)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式S_n＝·n－na₁+d，可以整理成S_n＝n²+。當(dāng)d≠0時(shí)是n 的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的二次式。

(5)等差數(shù)列的判定方法：

①定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；

②等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。

1．?dāng)?shù)列的知識(shí)要點(diǎn)：

(1)數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N(或它的有限子集{1，2，3，…，n，…})上的函數(shù)f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。

(2)對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式；③一個(gè)數(shù)列還可以用遞推公式來(lái)表示；④在數(shù)列{a_n}中，前n 項(xiàng)和S_n 與通項(xiàng)公式a_n 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。即a_n＝。特別要注意的是，若a₁ 適合由a_n＝S_n－S_n－1(n≥2)可得到的表達(dá)式，則a_n 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子.

題型1：數(shù)列概念

(2009安徽卷文)已知為等差數(shù)列，，則等于

A. -1　 　 　　B. 1 　　 　　C. 3　　 　 D.7

[解析]∵即∴同理可得∴公差∴.選B。

[答案]B

2.根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：

(1)1，3，5，7……；

(2)，，，；

(3)，，，。

解析：(1)=2；　 (2)= ；　 (3)= 。

點(diǎn)評(píng)：每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)到另一個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這對(duì)考生的歸納推理能力有較高的要求。

例2．?dāng)?shù)列中，已知，

(1)寫出，，；　 (2)是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？

解析：(1)∵，∴，

，；

(2)令，解方程得，

∵，∴， 即為該數(shù)列的第15項(xiàng)。

點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬.

題型2：數(shù)列的遞推公式

例3．如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動(dòng),在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度。

(1)設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，試寫出的通相公式；

(2)求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間；

(3)粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)2004秒后，它所處的坐標(biāo)。

解析：(1) 由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)時(shí)，明顯有

…　　　　　　　…　　　　　　　

　 ∴＝,

　　 。

,

。

,

,

即。　　　　　　　　　　　　　　　

(2)有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)得時(shí)間 再加(44－16)＝28秒，

所以秒。

(3)由2004，解得，取最大得n=44，

經(jīng)計(jì)算，得＝1980<2004，從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)1980秒后到達(dá)點(diǎn)，再向左運(yùn)行24秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(20，44)。

點(diǎn)評(píng)：從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問(wèn)題一般方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在。

例4．(1)已知數(shù)列適合：，，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式；

　　 (2)用上面的數(shù)列，通過(guò)等式構(gòu)造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項(xiàng).

解：(1) ，，，，，……，；

　 (2)，

　　　 ，，，，．

點(diǎn)評(píng)：會(huì)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。

題型3：數(shù)列的應(yīng)用

例5．湖南省2008屆十二校聯(lián)考第一次考試

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差． (1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)列，求和的關(guān)系式； (2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列； (3) 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公方差為的等方差數(shù)列，若將這種順

序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個(gè)數(shù)．

(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知：………………5分

(2)證法一：∵是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則 又是等方差數(shù)列，∴………………………………7分 ∴ 即，　 …………………………………10分 ∴，即是常數(shù)列．…………………………………………………11分 證法二：∵是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則……1 又是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為，則……2…………7分 1代入2得，……3 　　 同理有，……4 兩式相減得：即，…………………………………10分 ∴，即是常數(shù)列．………………………………………………11分

證法三：(接證法二1、2)

由1、2得出：若，則是常數(shù)列　　 …………………8分

若， 則　 是常數(shù),　 ∴，矛盾…………10分

∴　　 是常數(shù)列．　　　　　　　　　　　 …………………11分 (3)依題意， ，

， 　　 ∴，或，　　　 ……………………………13分 　 即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是，其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種

確定方法，當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來(lái)時(shí)，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是種， 故，這種密碼共種．…………………………………………………16分

。

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的思路是先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來(lái)處理。

例6．在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白(_____)內(nèi).

答案：140　 85

解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，…照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140；85.

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，有效地把數(shù)學(xué)過(guò)程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。

題型4：等差數(shù)列的概念

例7．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²，則{a_n}是(　　 )

A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列　　　　　　　　　　　　 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列　　　　　　　　　　　　　 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

答案：B；

解法一：a_n=

∴a_n=2n－1(n∈N)

又a_n+1－a_n=2為常數(shù)，≠常數(shù)

∴{a_n}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.

解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式a_n=S_n－S_n－1的推理能力.但不要忽略a₁，解法一緊扣定義，解法二較為靈活.

例8．設(shè)數(shù)列、、滿足：，(n=1,2,3,…)，證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…)

證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：

==-=0，

∴(n=1,2,3,…)成立；

又=6(常數(shù))(n=1,2,3,…)

∴數(shù)列為等差數(shù)列。

充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且(n=1,2,3,…)，

∵……①　　　 ∴……②

①－②得：

=

∵

∴……③　 從而有……④

④－③得：……⑤

∵，，，

∴由⑤得：(n=1,2,3,…)，

由此，不妨設(shè)(n=1,2,3,…)，則(常數(shù))

故……⑥

從而……⑦

⑦－⑥得：，

故(常數(shù))(n=1,2,3,…)，

∴數(shù)列為等差數(shù)列。

綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…)。

證法二：

令A(yù)_n = a _n+1- a _n，由b _n≤b _n+1知a _n - a _n+2≤a _n+1- a _n+3。

從而a _n+1- a _n≥a _n+3 - a _n+2,即A_n≥A_n+2(n=1,2,3,…)

由c _n = a _n + 2a _n+1 + 3a _n+2, c _n+1 = 4a _n+1 + 2a _n+2 - 3 a _n+3得

c _n+1-c _n=( a _n+1- a _n+2(a _n+2- a _n+1)+3(a _n+3 - a _n+2)，即

A_n+2A_n+1+3A_n+2=d₂.　　　　　　　　　　 　�、�

由此得

A_n+2+2A_n+3+3A_n+2=d₂.　　　　　　　　　　　 ⑦

⑥-⑦得

(A_n-A_n+2)+2(A_n+1- A_n+3)+3(A_n+2- A_n+4)=0　　 ⑧

因?yàn)锳_n-A_n+2≥0，A_n+1- A_n+3≥0，A_n+2- A_n+4≥0,

所以由⑧得A_n-A_n+2=0(n=1,2,3,…)。

于是由⑥得

4A_n+2A_n+1=A_n+1+2A_n+2+3A_n+2=d₂,　　　　　　 ⑨

從而

2A_n+4A_n+1=4A_n+1+2A_n+2=d₂⑩

由⑨和⑩得4A_n+2A_n+1=2A_n+4A_n+1,故A_n+1= A_n ,即

a _n+2- a _n+1= a _n+1- a _n(n=1,2,3,…)，

所以數(shù)列{a _n}是等差數(shù)列。

點(diǎn)評(píng)：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果.

題型5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式

例9．(2009天津卷文)已知等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)

(Ⅰ)若 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若成等比數(shù)列，求q的值。

(Ⅲ)若

(1)解：由題設(shè)，

代入解得，所以

(2)解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得

(3)證明：由題設(shè)，可得，則

　　 ①

　　 ②

①-②得，

①+②得，

　 ③

③式兩邊同乘以 q，得

所以

(3)證明：

=

因?yàn)?sub>，所以

若，取i=n，

若，取i滿足，且，

由(1)(2)及題設(shè)知，，且

①　　　　　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，，由，

即，

所以

因此

②　　　　　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，同理可得因此　　　

綜上，

[考點(diǎn)定位]本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問(wèn)題的能力.

例10．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿足，設(shè)。

(1)求數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大，最大值為多少？

(2)試判斷是否存在自然數(shù)M，使當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)令，試判斷數(shù)列的增減性？

解：(1)由已知得：

設(shè)等比數(shù)列{x_n}的公比為q(q≠1)

由得為等差數(shù)列，設(shè)公差為d

∵，∴d=－2；　　　　　　　　　 ∴

設(shè)前k項(xiàng)為最大，則　

∴前11項(xiàng)和前12項(xiàng)和為最大，其和為132

　(2)x_n=a^12-n,n∈N^*；　　　　　　　　　　　　　　　　 若x_n＞1，則a^12-n＞1

當(dāng)時(shí)，n＜12，顯然不成立 ；　　　　 當(dāng)

∴存在M=12，13，14，…，當(dāng)時(shí)，

(3)a_n=　

∵

∴∴時(shí)數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律.

題型6：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

例11．(1)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有(　　 )

A.13項(xiàng)　　　　　　　　　　　　　　 B.12項(xiàng)　　　　　　　　　　　 C.11項(xiàng)　　　　　　　　　　　 D.10項(xiàng)

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是(　　 )

A.1　　　　 　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　 C.4　　　　 　　　　　　　　　　 D.6

(3))設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　 )

A．　　　　　 　　　 B．　　　　　 　　C．　　　　　 　　 D．

解析：(1)答案：A

設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)

∵　　　　 ∴

∴n＝13

(2)答案：B

前三項(xiàng)和為12，∴a₁+a₂+a₃＝12，∴a₂＝＝4

a₁·a₂·a₃＝48，∵a₂＝4，∴a₁·a₃＝12，a₁+a₃＝8，

把a₁，a₃作為方程的兩根且a₁＜a₃，

∴x²－8x+12＝0，x₁＝6，x₂＝2，∴a₁＝2，a₃＝6，∴選B.

(3)答案為A；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

例12．(1)設(shè){a_n}為等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，T_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求T_n。

(2)已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.

(Ⅰ)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=lg(1+)，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與lgb_n+1的大小，并證明你的結(jié)論。

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則

S_n=na₁+n(n－1)d．∴S₇＝7，S₁₅＝75，

∴即

解得a₁＝－2，d＝1．∴＝a₁+(n－1)d＝－2+(n－1)。

∵，

∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為，

∴T_n＝n²－n．

(2)(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由題意得

解得　 ∴b_n=2n－1.

(Ⅱ)由b_n=2n－1，知

S_n=lg(1+1)+lg(1+)+…+lg(1+)

=lg［(1+1)(1+)…(1+)］，

lgb_n+1=lg.

因此要比較S_n與lgb_n+1的大小，可先比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小.

取n=1，有(1+1)＞，

取n=2，有(1+1)(1+)＞，……

由此推測(cè)(1+1)(1+)…(1+)＞.　　 ①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：S_n＞lgb_n+1。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。

(i)當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立。

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)，①式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞.

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞

·(1+)=(2k+2)。

∵［(2k+2)］²－()²

＝，

∴.

因而　

這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.

由(i)，(ii)知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.

由此證得：S_n＞lgb_n+1。

評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對(duì)一些綜合性的問(wèn)題要先理清思路再行求解.

題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式

例13．(1)設(shè){a_n}(n∈N^*)是等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　 )

A.d＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 B.a₇＝0

C.S₉＞S₅ D.S₆與S₇均為S_n的最大值

(2)等差數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為(　　 )

A.130　　 　　　　　　　　 B.170 　　　　　　　　　　 C.210　　 　　　　　 　D.260

解析：(1)答案：C；

由S₅<S₆得a₁+a₂+a₃+…+a₅<a₁+a₂+…+a₅+a₆，∴a₆>0，

又S₆=S₇，∴a₁+a₂+…+a₆=a₁+a₂+…+a₆+a₇，∴a₇=0，

由S₇>S₈，得a₈<0，而C選項(xiàng)S₉>S₅，即a₆+a₇+a₈+a₉>02(a₇+a₈)>0，

由題設(shè)a₇=0，a₈<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。

(2)答案：C

解法一：由題意得方程組，

視m為已知數(shù)，解得，

∴。

解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b₁，第m+1到2m項(xiàng)之和為b₂，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b₃，則b₁，b₂，b₃也成等差數(shù)列。

于是b₁=30，b₂=100－30=70，公差d=70－30=40。

∴b₃=b₂+d=70+40=110

∴前3m項(xiàng)之和S_3m=b₁+b₂+b₃=210.

解法三：取m=1，則a₁=S₁=30，a₂=S₂－S₁=70，從而d=a₂－a₁=40。

于是a₃=a₂+d=70+40=110.∴S₃=a₁+a₂+a₃=210。

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問(wèn)題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問(wèn)題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無(wú)關(guān)的不變量，在含有某種變化過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用不變量的思想求解，立竿見影。

例14．在XOY平面上有一點(diǎn)列P₁(a₁，b₁)，P₂(a₂，b₂)，…，P_n(a_n，b_n)，…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=2000()^x(0＜a＜10＝的圖象上，且點(diǎn)P_n、點(diǎn)(n，0)與點(diǎn)(n+1，0)構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形。

(Ⅰ)求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；

(Ⅱ)若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以b_n，<

2．等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

說(shuō)明：等差數(shù)列(通�？煞Q為數(shù)列)的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。

(3)等差中項(xiàng)的概念：

定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中　　　　　　 ，，成等差數(shù)列。

(4)等差數(shù)列的前和的求和公式：。

1．?dāng)?shù)列的概念

(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；

數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作；

數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡(jiǎn)記作 。

(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例如，數(shù)列①的通項(xiàng)公式是= (7，)，數(shù)列②的通項(xiàng)公式是= ()。

說(shuō)明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；② 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =；　　 ③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：

序號(hào)：1　　 2　　 3　　 4　　 5　　 6

項(xiàng)　 ：4　　 5　　 6　　 7　　 8　　 9

上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎�整�?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來(lái)代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。

(4)數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列.

(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　 數(shù)列的遞推公式.

2．知識(shí)交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問(wèn)題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題.

數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答題。對(duì)于本將來(lái)講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基本知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高.

預(yù)測(cè)2010年高考：

1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識(shí)的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題的解答題；

3．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.