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【題目】如圖所示,在正方體中, 是棱的中點(diǎn).
()求直線和平面所成角的正弦值.
()在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論.
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【題目】已知橢圓,且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為,最小距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的動直線交橢圓于兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
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【題目】參加市數(shù)學(xué)調(diào)研抽測的某校高三學(xué)生成績分析的莖葉圖和頻率分布直方圖均受到不同程度的破壞,但可見部分信息如下,據(jù)此解答如下問題:
(1)求參加數(shù)學(xué)抽測的人數(shù)n、抽測成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)分別在[80,90),[90,100]內(nèi)的人數(shù);
(2)若從分?jǐn)?shù)在[80,100]內(nèi)的學(xué)生中任選兩人進(jìn)行調(diào)研談話,求恰好有一人分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的概率.
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【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________________元.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,過原點(diǎn)分別做曲線 與的切線,,若兩切線的斜率互為倒數(shù),求證:.
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【題目】電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇播放時長(分鐘) | 廣告播放時長(分鐘) | 收視人次(萬) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用,表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).
(1)用,列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使收視人次最多?
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么在一個生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半.”如果墻足夠厚,為前天兩只老鼠打洞之和,則_________________尺.
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【題目】在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列.
(1)求cosB的值;
(2)邊a,b,c成等比數(shù)列,求sinAsinC的值.
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