1、情境：現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.

時(shí)間

3月18日

4月18日

4月20日

日最高氣溫

3.5℃

18.6℃

33.4℃

觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為：

（理解圖中A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)的含義）

問(wèn)題1：“氣溫陡增”是一句生活用語(yǔ)，它的數(shù)學(xué)意義是什么？（形與數(shù)兩方面）

問(wèn)題2：如何量化（數(shù)學(xué)化）曲線上升的陡峭程度？

二、學(xué)生活動(dòng)

1、曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度。

2、由點(diǎn)B上升到C點(diǎn)，必須考察y_C―y_B的大小，但僅僅注意y_C―y_B的大小能否精確量化BC段陡峭程度，為什么？

3、在考察y_C―y_B的同時(shí)必須考察x_C―x_B，函數(shù)的本質(zhì)在于一個(gè)量的改變本身就隱含著這種改變必定相對(duì)于另一個(gè)量的改變。

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．通過(guò)比較氣溫在區(qū)間[1，32]上的變化率0．5與氣溫[32,34]上的變化率7．4，感知曲線陡峭程度的量化。

2.一般地,給出函數(shù)f(x)在區(qū)間[x₁，x₂]上的平均變化率。實(shí)質(zhì)是連接兩點(diǎn)直線的斜率

3．回到氣溫曲線圖中，從數(shù)和形兩方面對(duì)平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu)。

4。平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x₂―x₁很小時(shí)，這種量化便有“粗糙”逼近“精確”。

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1、某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率。

解：前三個(gè)月，平均體重變化率為=1（kg/月），第6個(gè)月到第12個(gè)月體重平均變化率為=0.4(kg/月)

說(shuō)明：圖象問(wèn)題，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求變化率

例2、水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積               （單位：），

計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率。

解： =-0.01(cm³/s)即第一個(gè)10秒內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為-0.01cm³/s

說(shuō)明：實(shí)際問(wèn)題常常根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定其意義

例3、已知函數(shù)f（x）=2x+1，分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均變化率。

   解答：f(x)變化率均為2

思考：y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？能證明你的結(jié)論嗎？（都為k）

例4、已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001]。

   解答：(1)4；(2)3；（3）2.1；  （4）2.001

   變形：已知函數(shù)， 在下列區(qū)間[1,1+](n∈N^*)上的平均變化率為a_n.(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)n→∞時(shí)，求數(shù)列{a_n}趨近的值（2+，2）

   練習(xí)：求證f(x)=x³在區(qū)間[m,m+δ]上的變化率恒正

練習(xí)：教材P7----1,2

五、小結(jié)

1、平均變化率 ：一般的，函數(shù)在區(qū)間[x₁，x₂]上的平均變化率。

２、平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺(jué)化”．

3、y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率恒為k

六、作業(yè)：教材P16---1

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、已知函數(shù)f(x)=x²-x在區(qū)間[1,t]上的平均變化率為2，則t=___________

2、已知函數(shù)f(x)=x²-tx在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為2，則t=___________

3、計(jì)算f(x)=在區(qū)間[x₀,x₀+△x]上的平均變化率，其中x₀和x₀+△x都不為0

4、已知函數(shù)， 在下列區(qū)間[2,2+](n∈N^*)上的平均變化率為a_n.(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)n→∞時(shí)，求數(shù)列{a_n}趨近的值如果函數(shù)

5、f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，那么f(x)在任意區(qū)間[x₁,x₂]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？反之是否成立

[解答]1、2;  2、1;  3、-;    4、(1)4+;(2)4;  5、平均變化率恒正，反之也成立

[教后感想與作業(yè)情況]

1.1.2瞬時(shí)變化率

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)]瞬時(shí)變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義

[教學(xué)過(guò)程]

1、什么叫做平均變化率；如何求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x_A，x_B]上的平均變化率？

2、問(wèn)題：在某一處的變化率如何求？（動(dòng)畫(huà)顯示）

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、曲線上一點(diǎn)處的切線斜率

不妨設(shè)P(x₁，f(x₁))，Q(x₀，f(x₀))，則割線PQ的斜率為，

設(shè)x₁－x₀=△x，則x₁ =△x＋x₀，

∴

當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線向點(diǎn)Q無(wú)限靠近時(shí)，割線PQ的斜率就會(huì)無(wú)限逼近點(diǎn)Q處切線斜率，即當(dāng)△x無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近點(diǎn)Q處切線斜率。

2、曲線上任一點(diǎn)(x₀，f(x₀))切線斜率的求法：

S1:計(jì)算函數(shù)值的增加量:△y=f(x₀+△x)-f(x₀)

S2: 計(jì)算平均變化率=

S3: 當(dāng)△x無(wú)限趨近于0時(shí)，k值即為(x₀，f(x₀))處切線的斜率。

練習(xí)：P11---1,2

例1、已知f(x)=x²，求曲線在x=2處的切線的斜率

解：△y=f(2+△x)-f(x)=(2+△x)²-4=4△x+(△x) ², =4+△x,當(dāng)△x→0時(shí)，f(x)=x²在x=2處的切線的斜率為4

練習(xí)1：求x=0,x=-2和x=3處的切線斜率（0，-4，-6分組求）

練習(xí)2：曲線y=x³在點(diǎn)P處切線斜率為k,當(dāng)k=3時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________((1,1),(-1,-1))

練習(xí)3：曲線f(x)=|x|在(0,0)處，有無(wú)切線？有求出，無(wú)說(shuō)明理由。（無(wú)，斜率不存在）

說(shuō)明：不是任意一點(diǎn)都有斜率

3、瞬時(shí)變化率的實(shí)際意義

思考1：若S(t)為位移，按照上面辦法求得的瞬時(shí)變化率有什么實(shí)際意義？

（平均速度： 物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱(chēng)為平均速度；位移的平均變化率：；瞬時(shí)速度：當(dāng)無(wú)限趨近于0 時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t=t₀時(shí)的瞬時(shí)速度）

    思考2：若V(t)為速度，按照上面辦法求得的瞬時(shí)變化率有什么實(shí)際意義？

（當(dāng)無(wú)限趨近于0 時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t=t₀時(shí)的瞬時(shí)加速度）

例2、已知一輛轎車(chē)在公路上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假使t秒是的速度為V(t)=t²+3,求在t₀秒時(shí)的即時(shí)加速度

解：===2t₀+△t,當(dāng)△t→0時(shí)，→2t₀, 在t₀秒時(shí)的即時(shí)加速度為2t₀變形練習(xí)：求t₀=2秒時(shí)的瞬時(shí)加速度       （4）

練習(xí)：教材P13---1,2

S2: 計(jì)算平均變化率=

S3: 當(dāng)△x無(wú)限趨近于0時(shí)，k值即為(x₀，f(x₀))處的變化率

2、瞬時(shí)變化率的意義：(1)實(shí)際意義：在該處切線的斜率；(2)實(shí)際意義：位移對(duì)時(shí)間的瞬時(shí)變化率為瞬時(shí)速度；速度對(duì)時(shí)間的瞬時(shí)變化率為瞬時(shí)加速度

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、曲線y=x²上切線傾斜角為45⁰的點(diǎn)是____________

2、求y=在點(diǎn)(1,1)處的切線方程

3、一物體運(yùn)動(dòng)方程為s=t³-3t²,比較t=a和t=a+1時(shí)的速度的大小

[解答]

1、；  2、x-2y+1=0；   3、a>時(shí)，a+1時(shí)速度大；a=時(shí)一樣大；a<時(shí)，a+1時(shí)速度小

[教后感想與作業(yè)情況]

1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)的求解方法和過(guò)程；2、導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用

[教學(xué)過(guò)程]

一、情境引入

在前面我們解決的問(wèn)題：

1、求函數(shù)在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率。

，故斜率為4      

2、直線運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)速度V與時(shí)間t的關(guān)系是，求時(shí)的瞬時(shí)速度。

，故斜率為4  

上述兩個(gè)函數(shù)和中，當(dāng)()無(wú)限趨近于0時(shí)，()都無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)。

歸納：一般的，定義在區(qū)間（，）上的函數(shù)，，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A，則稱(chēng)在處可導(dǎo)，并稱(chēng)A為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，

上述兩個(gè)問(wèn)題中：（1），（2）

可以看出

在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的切線斜率。

例1、函數(shù)，求f^./(1)與f^/(a)

解：（1）△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)²+1-2=2△x+△x²,=2+△x,f^/(1)=2

(2)△y=f(a+△x)-f(a)=(a+△x)²-a²=2a△x+△x², =2a+△x²,f^/(a)=2a

練習(xí)1：計(jì)算[f(a)]^/,比較它與f^/(a)的區(qū)別

練習(xí)2：計(jì)算f^/(x),說(shuō)明它是否為x的函數(shù)

一般的，的對(duì)于區(qū)間（,）上任意點(diǎn)處都可導(dǎo)，則在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)被稱(chēng)為的導(dǎo)函數(shù)，記作

例2、已知函數(shù)，求在處的切線。

解：[方法一]△y=f(2+△x)-f(2)=-=, =,當(dāng)△x→0時(shí)， f^/(2)=；故切線方程為y-2=(x-)即x-4y+4=0

[方法二] （先求導(dǎo)數(shù)，再求2點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）△y=f(x+△x)-f(x)=-=, =,當(dāng)△x→0時(shí)f^/(x)=, f^/(2)=；故切線方程為y-2=(x-)即x-4y+4=0

  說(shuō)明：如果先求導(dǎo)數(shù)時(shí)，是先求一般導(dǎo)數(shù)式子，再代入；不是先代入后求導(dǎo)

例3、函數(shù)滿足，則當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，

（1）→                      

（2）→                      

解：(1)→f^/(1)=1

(2) =2→2f^/(1)=4

變式:設(shè)f(x)在x=x₀處可導(dǎo)，

（3）無(wú)限趨近于1，則=___________(4)

（4）無(wú)限趨近于1，則=________________(-4)

課堂練習(xí)課本第15頁(yè)練習(xí)1、2、3

一個(gè)概念：在某一處的導(dǎo)數(shù)就是在該處的變化率，符號(hào)為或；

兩個(gè)求法：一直接按變化率的步驟求，二先求一般的再代入

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、函數(shù)y=f(x)的圖象在x=處的切線方程為6x+2y-3=0,則f()=_________,f^/()=_______

2、求y=的導(dǎo)數(shù)

3、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，a、b為常數(shù)，當(dāng)△x→0時(shí)→_____

4、根據(jù)x→0時(shí)，→1，求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)

[答案]1、-3，-3；2、；3、(a+b)f^/(x)；4、cosx

教后思考與作業(yè)情況：