專題三：數(shù)        列

【考點(diǎn)審視】

（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢(shì)透視本單元考查的重點(diǎn).）

本章內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，它既具有相對(duì)的獨(dú)立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的銜接點(diǎn)，因而歷來(lái)是高考的重點(diǎn).

高考對(duì)本章考查比較全面,等差、等比數(shù)列，數(shù)列的極限的考查幾乎每年都不會(huì)遺漏.就近五年高考試卷平均計(jì)算，本章內(nèi)容在文史類中分?jǐn)?shù)占13％，理工類卷中分?jǐn)?shù)占11％，由此可以看出數(shù)列這一章的重要性.

本章在高考中常見(jiàn)的試題類型及命題趨勢(shì)：

（1）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說(shuō)明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)”，近幾年命題嚴(yán)格按照《考試說(shuō)明》，不要求較復(fù)雜由遞推公式求通項(xiàng)問(wèn)題，例如2004年全國(guó)卷一?（15）、（22）.

（2）探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多，試題沒(méi)有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力有較高的要求.

（3）等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全國(guó)高考?浙江卷?（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，還有2004年全國(guó)高考?上海卷?（4）、（12）均有提及.

（4）求和問(wèn)題也是常見(jiàn)的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.

（5）將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來(lái)看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國(guó)高考?新課程卷?解答題（19）主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推關(guān)系；2004年全國(guó)高考?上海卷?

解答題（）主要考查了等差數(shù)列及證明.

通過(guò)上述分析，在學(xué)習(xí)中應(yīng)著眼于教材的基本知識(shí)和方法，不要盲目擴(kuò)大，應(yīng)著重做好以下幾方面：

（1）       理解概念，熟練運(yùn)算

（2）       巧用性質(zhì)，靈活自如

【疑難點(diǎn)拔】

（解釋重點(diǎn)、難點(diǎn)及知識(shí)體系，尤其是考試中學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)案分析.）

    數(shù)列部分的復(fù)習(xí)分三個(gè)方面:①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用。②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及可化為等差、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單問(wèn)題，同時(shí)要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用。③要設(shè)計(jì)一些新穎題目，尤其是通過(guò)探索性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合能力題涉及的問(wèn)題背景新穎，解法靈活，解這類題時(shí)，要教給學(xué)生科學(xué)合理的思維，全面靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。

    數(shù)列部分重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)將它們對(duì)比起來(lái)復(fù)習(xí)；由于數(shù)列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復(fù)習(xí)時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)；提倡一題多解，達(dá)到事半功倍的效果。

錯(cuò)案分析：

例1.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則等于__________.

[錯(cuò)解一], 或.

[錯(cuò)因]將等比數(shù)列中成等比數(shù)列,誤解為成等比數(shù)列.

[錯(cuò)解二]是等比數(shù)列,成等比數(shù)列其公比為,從而,得或,或,

或,或.

[錯(cuò)因]忽視了隱含條件.

[正解]由題設(shè)得:     ① ,       ②,

 ② ①得或（舍去），.

例2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（   ）

（A）       等差數(shù)列                           （B）等比數(shù)列

（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列       （D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

[錯(cuò)解],，（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列.

[錯(cuò)因]忽略了中隱含條件.

[正解]當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

,為常數(shù),但,數(shù)列從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列,選C.

例3.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每分鐘分裂一次(一個(gè)分裂成二個(gè))經(jīng)過(guò)h這種細(xì)菌由一個(gè)可繁殖成_________個(gè).

[錯(cuò)解一]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,   

個(gè)

[錯(cuò)解二] 由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,細(xì)菌由一個(gè)可繁殖成

[正解] 由題意知,每次分裂細(xì)菌數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,,公比,共分裂次,第次應(yīng)為,(個(gè))

例4.一個(gè)球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當(dāng)它第次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了多少米?

[錯(cuò)解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經(jīng)過(guò)的路程構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,.

[錯(cuò)因]每?jī)纱沃�地之間經(jīng)過(guò)的路程應(yīng)為上、下路程之和;而第一次從落下時(shí)只有下的路程,應(yīng)單獨(dú)計(jì)算.

[正解].

例5.在等差數(shù)列中,已知,前項(xiàng)和為,且,求當(dāng)取何值時(shí), 有最大值,并求它的最大值.

[錯(cuò)解]設(shè)公差為,,  ,得

,即,,當(dāng)時(shí), ,

,當(dāng)時(shí),有最大值.

[錯(cuò)因]僅解不等式是不正確的,應(yīng)解.

[正解]由,解得公差,

,,.

所以,當(dāng)或時(shí), 有最大值為.

    [例6]一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢(qián)的總數(shù)為多少？

[錯(cuò)解]年利率保持不變，每年到期時(shí)的錢(qián)數(shù)形成一等比數(shù)列，那么年時(shí)取出的錢(qián)數(shù)應(yīng)為以為首項(xiàng)，公比為的第項(xiàng)，即

[錯(cuò)因]上述解法只考慮了孩子出生時(shí)存入的元，到年時(shí)的本息，而題目的要求是每年都要存入元。

[正解]不妨從每年存入的元到年時(shí)產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時(shí)的元到年時(shí)變?yōu)?sub>，

歲生日時(shí)的元到歲時(shí)變?yōu)?sub>，……

歲時(shí)的元到歲時(shí)變?yōu)?sub>

從而知，如此存款到歲時(shí)取回的錢(qián)的總數(shù)應(yīng)為：

專題三：數(shù)        列

【經(jīng)典題例】

例1：已知下面各數(shù)列的前項(xiàng)的和為的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（1）且；

（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和。

[思路分析]：

（1）當(dāng)時(shí)，   ，

用累乘法、迭代法可求得。

（2）當(dāng)時(shí)，，由于不適此式，所以  。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：由求的唯一途徑是 ，注意分類思想在本題中的應(yīng)用以及累乘、迭代等方法的應(yīng)用。

例2：等差數(shù)列中，，，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。

[思路分析]：

方法一：利用等差數(shù)列的求和公式處理，由及得

，， 依二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值是。

方法二：數(shù)形結(jié)合處理，由等差數(shù)列的求和公式可得，

的圖象是開(kāi)口向下的拋物線上的一群離散點(diǎn)，最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

即最大，易求得最大值為。

方法三：利用等差數(shù)列的性質(zhì)處理， 由  可得

，又，從而，，，故最大。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此求最值問(wèn)題就是一個(gè)重要題型，又因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和一般是不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，因此，求最大值可用二次函數(shù)法求之，也可根據(jù)對(duì)稱軸來(lái)判斷，由于數(shù)列的特殊性還可以把通項(xiàng)公式寫(xiě)出來(lái)，由或來(lái)解決，特別注意，用（）時(shí)，若解得，是正整數(shù)時(shí)，說(shuō)明中有為的項(xiàng)，因此前項(xiàng)和最大（最�。┯袃身�(xiàng)且它們相等。

例3：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（  ）

   （A）      （B）        （C）     （D）

[思路分析]：

方法一：特殊值法，由原數(shù)列知，在選擇支中只有（D）滿足。

方法二：看通項(xiàng)，，。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：方法一對(duì)解答復(fù)雜的選擇題有簡(jiǎn)化計(jì)算的作用，方法二利用通項(xiàng)求，為求和的通法。

例4：某城市年末汽車(chē)保有量為萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同。為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)萬(wàn)量，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？

[思路分析]：如果設(shè)每年新增汽車(chē)數(shù)為萬(wàn)輛，則遞推或歸納出各年汽車(chē)保有量的關(guān)系，即有。  從而。

，  。

下面要求的取值范圍是在的前提下：當(dāng)為遞減函數(shù)（或常數(shù)），即，這時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，遞增，而，因而限定，得（萬(wàn)輛），這樣二者求并集即可。要注意。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：不能歸納或探索出汽車(chē)在相鄰年份的保有量的關(guān)系是解本題的最大障礙，另外由，可得出，這也是一個(gè)重要方法。

【熱身沖刺】

試題詳情

專題一：集合、映射、簡(jiǎn)易邏輯與函數(shù)

【考點(diǎn)審視】

（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢(shì)透視本單元考查的重點(diǎn)。）

一．三年科學(xué)歸納：

時(shí)  間

題   號(hào)

分值

題型

高考要求

考試內(nèi)容

能力層次

2002

(文)40分(理)35分

(文)4、6、9、10

20

選擇

理解

掌握

集合、充要條件、函數(shù)圖象與性質(zhì)

B

(理)5、9、10

15

(文)13、14

8

填空

掌握

應(yīng)用

函數(shù)圖象與性質(zhì)

C            

(理)13、16

8

(文) 20

12

解答

掌握

函數(shù)圖象與性質(zhì)

C

(理)21

12

2003

(文)27分(理)26分

(文) 6、7、8

15

選擇

理解

函數(shù)圖象與性質(zhì)

B

(理)3、9

10

(文)無(wú)

0

填空

掌握

函數(shù)圖象與性質(zhì)、不等式

C

(理)14

4

(文)20

12

解答

掌握

應(yīng)用

（三角）函數(shù)圖象與性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)、不等式

C

(理)19

12

2004

(文)36分(理)24分

(文)1、8、9、12

20

選擇

掌握

集合、充要條件、函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

C

(理)1、8、11、12

20

(文)13

4

填空

掌握

函數(shù)表達(dá)式、不等式

C

(理)13

4

(文)21

12

解答

掌握

函數(shù)圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)

(理)無(wú)

0

綜合上述三年統(tǒng)計(jì)表可知本單元在高考中試題類型與特點(diǎn)有：

1．  集合、映射、簡(jiǎn)易邏輯、四種命題一般都是基本題，綜合性題目少，且綜合性的深度較小．解答題少．今年理科試題中沒(méi)有出現(xiàn)本單元的解答題型．

2．  函數(shù)及其性質(zhì)考查更是高考函數(shù)試題的主干，是中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)相銜接的重要內(nèi)容，是承上啟下的必備知識(shí)，也是歷年高考的熱點(diǎn)．本考點(diǎn)每年必考。近年高考對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查，除了保持函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)比較高的覆蓋面外，還強(qiáng)化了對(duì)函數(shù)本質(zhì)和函數(shù)應(yīng)用的考查，體現(xiàn)了函數(shù)知識(shí)考查的深度和廣度，函數(shù)的概念的考察多數(shù)是與其它知識(shí)以綜合題的形式出現(xiàn)，有關(guān)函數(shù)的綜合題較難。

具體考查：

（1）       常見(jiàn)初等函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，其中二次函數(shù)及其對(duì)數(shù)函數(shù)更為重要，屬中檔題；

（2）       考查函數(shù)與方程、不等式、三角、數(shù)列、曲線方程、導(dǎo)數(shù)（尤其要重視與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合）等知識(shí)的交叉滲透及其應(yīng)用，屬中、高檔題；

（3）       考查以函數(shù)為模型的實(shí)際應(yīng)用題，讓考生從數(shù)學(xué)角度觀察事物、闡釋現(xiàn)象，分析解決問(wèn)題，屬中檔題；

（4）       變函數(shù)的具體形式為抽象形式，用以考查抽象思維水平，以及將抽象與具體進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的思維能力，可結(jié)合在函數(shù)的各種題型中進(jìn)行考查。

【疑難點(diǎn)拔】

（解釋重點(diǎn)、難點(diǎn)及知識(shí)體系，尤其是考試中學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)案分析。）

試題詳情

常州二中 徐展

第Ⅰ卷（選擇題　共31分）

試題詳情

2009年高考模擬考試

物  理

  本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷Ⅰ至4頁(yè)。第1I卷5至8頁(yè)．考試時(shí)間90分鐘，滿分100分。

第1卷(選擇題共40分)

注惹事項(xiàng)：

    1．答第1卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、考試科目、試卷類型(A或B)涂寫(xiě)在答題卡上。

    2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。

試題詳情

攀枝花市2009級(jí)高三第三次統(tǒng)考 2009.3

理科綜合能力測(cè)試(物理部份)

試題詳情

山東省聊城2009年高考一模

基本能力試題

試題由第1卷和第Ⅱ卷兩部分組成，滿分為100分，考試時(shí)間120分鐘。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填涂在試卷、答題卡、答案卷規(guī)定的地方

第Ⅰ卷（30分

注意事項(xiàng)：

    1．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后再涂寫(xiě)其他答案標(biāo)號(hào)，不涂答題卡只答在試卷上不得分。

2．第1卷共30小題，全部為單選題，每題1分，共30分。

試題詳情

龍岡中學(xué)2008/2009學(xué)年度高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試

物 理 試 題

命題人：胥曉春

第Ⅰ卷(選擇題  共69分)

試題詳情

^{蘇州市 2008~2009 學(xué)年度高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試}

_{物                        理                                 2009．3}

試題詳情

鹽城一中2008/2009學(xué)年高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試

物   理 （必 修）試題

試題詳情

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