10.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點.

求證：

(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

證明　 (1)建立如圖所示的空間直角坐標系,

設AC∩BD=N，連接NE.

則點N、E的坐標分別為、(0，0，1).

∴=.

又點A、M的坐標分別是

(，，0)、，

∴=.

∴=且NE與AM不共線.∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知=，

∵D(，0，0)，F(，，1)，∴=(0，，1).

∴·=0.∴⊥.

同理⊥.又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.

9.已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為BB₁、C₁D₁的中點，建立適當的坐標系，求平面AMN的法向量.

解　 以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系.(如圖所示).

設棱長為1，則A(1，0，0)，M(1，1，)，N(0，，1).

∴=(0，1，)，=(-1，，1).

設平面AMN的法向量n=(x，y，z)

∴

令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=(-3，2，-4).

∴(-3，2，-4)為平面AMN的一個法向量.

8.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,則a=　　　　　 .

答案　 或

7.若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面內三點，設平面的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=　　　 .

答案　 2∶3∶(-4)

6.下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是　　　　　 .

答案　 ①④

5.設點C(2a+1，a+1，2)在點P(2，0，0)、A(1，-3，2)、B(8，-1，4)確定的平面上，則a=　　　　 .

答案　 16

4.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為　　　　 .

答案　 ，-，4

3.已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)，則平面ABC的一個單位法向量是　　　　 (寫出一個即可).

答案　

2.已知=(2，4，5)，=(3，x，y)，若∥，則x=　　　　　 ,y=　　　　　 .

答案　 6　

1.若平面、的法向量分別為n₁=(2，3，5)，n₂=(-3,1,-4),則，的位置關系是　　　　 (用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空).

答案　 相交但不垂直